1．直接證明
(1)綜合法
①定義：利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法．
②框圖表示
(其中p表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，q表示要證的結論)．
③思維過程：由因導果．
(2)分析法
①定義：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．
②框圖表示其中q表示要證明的結論)．
③思維過程：執果索因．
2．間接證明
反證法：假設原命題不成立(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立的證明方法．
【思考辨析】
判斷下面結論是否正確(請在括號中打「√」或「×」)
(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明．( × )
(2)分析法是從要證明的結論出發，逐步尋找使結論成立的充要條件．( × )
(3)用反證法證明結論「a>b」時，應假設「a(4)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾．( × )
(5)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現解決問題的過程．( √ )
(6)證明不等式＋<＋最合適的方法是分析法．( √ )
1．p＝＋，q＝·(m，n，a，b，c，d均為正數)，則p，q的大小為( )
a．p≥q b．p≤q
c．p>q d．不確定
答案 b
解析 q＝≥＝＋＝p.
2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0只要證明( )
a．2ab－1－a2b2≤0
b．a2＋b2－1－≤0
c.－1－a2b2≤0
d．(a2－1)(b2－1)≥0
答案 d
解析 a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0.
3．若a，b，c為實數，且aa．ac2ab>b2
c. < d. >
答案 b
解析 a2－ab＝a(a－b)，
∵a0，
∴a2>ab.①
又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②
由①②得a2>ab>b2.
4．如果a＋b>a＋b，則a、b應滿足的條件是
答案 a≥0，b≥0且a≠b
解析 ∵a＋b－(a＋b)
＝(a－b)＋(b－a)
＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴當a≥0，b≥0且a≠b時，(－)2(＋)>0.
故a＋b>a＋b成立的條件是a≥0，b≥0且a≠b.
題型一綜合法的應用
例1 對於定義域為[0,1]的函式f(x)，如果同時滿足：
①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；
②f(1)＝1；
③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函式f(x)為理想函式．
(1)若函式f(x)為理想函式，證明：f(0)＝0；
(2)試判斷函式f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函式．
思維點撥 (1)取特殊值代入計算即可證明；
(2)對照新定義中的3個條件，逐一代入驗證，只有滿足所有條件，才能得出「是理想函式」的結論，否則得出「不是理想函式」的結論．
(1)證明取x1＝x2＝0，則x1＋x2＝0≤1，
∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.
又對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0，
∴f(0)≥0.於是f(0)＝0.
(2)解對於f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不滿足新定義中的條件②，
∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函式．
對於f(x)＝x2，x∈[0,1]，顯然f(x)≥0，且f(1)＝1.
任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，
f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)
＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0，
即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．
∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函式．
對於f(x)＝，x∈[0,1]，顯然滿足條件①②.
對任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，
有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2)＝－2≤0，
即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.
∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不滿足條件③.
∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函式．
綜上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函式，
f(x)＝2x(x∈[0,1])與f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函式．
思維昇華 (1)綜合法是「由因導果」的證明方法，它是一種從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發，經過一系列中間推理，最後匯出所要求證結論的真實性．
(2)綜合法的邏輯依據是三段論式的演繹推理．
(2013·課標全國ⅱ)設a、b、c均為正數，且a＋b＋c＝1，證明：
(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.
證明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由題設得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
題型二分析法的應用
例2 已知a>0，求證－≥a＋－2.
思維點撥用分析法，移項，平方，化簡．
證明要證－≥a＋－2，
只需要證＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只需要證(＋2)2≥(a＋＋)2，
即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2 (a＋)＋2，
從而只需要證2≥(a＋)，
只需要證4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，
即a2＋≥2，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立．
思維昇華 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件．正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵．
(2)證明較複雜的問題時，可以採用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然後通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證．
已知a，b∈(0，＋∞)，求證：(a3＋b3) <(a2＋b2).
證明因為a，b∈(0，＋∞)，所以要證原不等式成立，
只需證[(a3＋b3)]6<[(a2＋b2)]6，
即證(a3＋b3)2<(a2＋b2)3，
即證a6＋2a3b3＋b6只需證2a3b3<3a4b2＋3a2b4.
因為a，b∈(0，＋∞)，
所以即證2ab<3(a2＋b2)．
而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab>2ab成立，
以上步驟步步可逆，
所以(a3＋b3) <(a2＋b2).
題型三反證法的應用
例3 已知數列的前n項和為sn，且滿足an＋sn＝2.
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：數列中不存在三項按原來順序成等差數列．
思維點撥證明(2)用反證法，假設存在三項，符合條件推出矛盾．
(1)解當n＝1時，a1＋s1＝2a1＝2，則a1＝1.
又an＋sn＝2，所以an＋1＋sn＋1＝2，
兩式相減得an＋1＝an，
所以是首項為1，公比為的等比數列，所以an＝.
(2)證明反證法：假設存在三項按原來順序成等差數列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p則2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)
又因為p 響水二中高三數學 理 一輪複習學案第十三編推理與證明主備人張靈芝總第67期 13.2 直接證明與間接證明 班級姓名等第 基礎自測 1.分析法是從要證的結論出發,尋求使它成立的條件.2.若a b 0,則a b 用填空 3.要證明 2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是填序號 反證法 分析法 綜合法... 教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ... 1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等，q表示要證明的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後...推理與證明132直接證明與間接證明學案
直接證明與間接證明
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