推理與證明綜合測試題
一、選擇題
1．分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使結論成立的（ ）
ａ．充分條件必要條件充要條件等價條件
答案：ａ
2．結論為：能被整除，令驗證結論是否正確，得到此結論成立的條件可以為（ ）
且為正奇數為正偶數
答案：ｃ
3．在中，，則一定是（ ）
ａ．銳角三角形直角三角形鈍角三角形不確定
答案：ｃ
4．在等差數列中，若，公差，則有，類經上述性質，在等比數列中，若，則的乙個不等關係是（ ）
答案：ｂ
5．（1）已知，求證，用反證法證明時，可假設，
（2）已知，，求證方程的兩根的絕對值都小於1．用反證法證明時可假設方程有一根的絕對值大於或等於1，即假設，以下結論正確的是（ ）
ａ．與的假設都錯誤
ｂ．與假設都正確
ｃ．的假設正確；的假設錯誤
ｄ．的假設錯誤；的假設正確
答案：ｄ
6．觀察式子：，，，，則可歸納出式子為（ ）
ａ．ｂ．
ｃ．ｄ．
答案：ｃ
7．如圖，在梯形中，．若，到與的距離之比為，則可推算出：．試用
模擬的方法，推想出下述問題的結果．在上面的梯形中，延長梯形兩腰相交於點，設，
的面積分別為，且到與的距離之比為，則的面積與的關係是（ ）
答案：ｃ
8．已知，且，則（ ）
答案：ｂ
9．用反證法證明命題：若整係數一元二次方程有有理根，那麼中至少有乙個是偶數時，下列假設中正確的是（ ）
ａ．假設都是偶數
ｂ．假設都不是偶數
ｃ．假設至多有乙個是偶數
ｄ．假設至多有兩個是偶數
答案：ｂ
10．用數學歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數式為（ ）
答案：ｂ
11．模擬「兩角和與差的正余弦公式」的形式，對於給定的兩個函式，，，其中，且，下面正確的運算公式是（ ）
①；②；
③；④；
答案：ｄ
12．正整數按下錶的規律排列
則上起第2005行，左起第2006列的數應為（ ）
答案：ｄ
二、填空題
13．寫出用三段論證明為奇函式的步驟是 ．
答案：滿足的函式是奇函式， 大前提
， 小前提
所以是奇函式結論
14．已知，用數學歸納法證明時，等於 ．
答案：15．由三角形的性質通過模擬推理，得到四面體的如下性質：四面體的六個二面角的平分面交於一點，且這個點是四面體內切球的球心，那麼原來三角形的性質為 ．
答案：三角形內角平分線交於一點，且這個點是三角形內切圓的圓心
16．下面是按照一定規律畫出的一列「樹型」圖：
設第個圖有個樹枝，則與之間的關係是 ．
答案：三、解答題
17．如圖（1），在三角形中，，若，則；若模擬該命題，如圖（2），三稜錐中，面，若點在三角形所在平面內的射影為，則有什麼結論？命題是否是真命題．
解：命題是：三稜錐中，面，若點在三角形所在平面內的射影為，則有是乙個真命題．
證明如下：
在圖（2）中，鏈結，並延長交於，鏈結，則有．
因為面，，所以．
又，所以．
於是．18．如圖，已知已知矩形所在平面，分別是的中點．
求證：（1）平面；（2）．
證明：（1）取的中點，鏈結．
分別為的中點．
為的中位線，
，，而為矩形，
，且．，且．
為平行四邊形，，而平面，平面，
平面．（2）矩形所在平面，
，而，與是平面內的兩條直交直線，
平面，而平面，
．又，．
19．求證：當乙個圓和乙個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大．
證明：（分析法）設圓和正方形的周長為，依題意，圓的面積為，正方形的面積為．
因此本題只需證明．
要證明上式，只需證明，
兩邊同乘以正數，得．
因此，只需證明．
上式是成立的，所以．
這就證明了如果乙個圓和乙個正方形的周長相等，那麼圓的面積比正方形的面積最大．
20．已知實數滿足，，求證中至少有乙個是負數．
證明：假設都是非負實數，因為，
所以，所以，，
所以，這與已知相矛盾，所以原假設不成立，即證得中至少有乙個是負數．
21．設，（其中，且）．
（1）請你推測能否用來表示；
（2）如果（1）中獲得了乙個結論，請你推測能否將其推廣．
解：（1）由，
又，因此．
（2）由，即，
於是推測．
證明：因為，（大前提）．
所以，，，（小前提及結論）
所以．22．若不等式對一切正整數都成立，求正整數的最大值，並證明結論．
解：當時，，即，
所以．而是正整數，所以取，下面用數學歸納法證明：．
（1）當時，已證；
（2）假設當時，不等式成立，即．
則當時，有．
因為，所以，
所以．所以當時不等式也成立．
由（1）（2）知，對一切正整數，都有，
所以的最大值等於25．
推理與證明綜合測試題
一、選擇題
1．下面使用的模擬推理中恰當的是（ ）
ａ．「若，則」模擬得出「若，則」
ｂ．「」模擬得出「」
ｃ．「」模擬得出「」
ｄ．「」模擬得出「」
答案：ｃ
2．圖1是乙個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規律放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數就是（ ）
ａ．256691120
答案：ｃ
3．推理「①正方形是平行四邊形；②梯形不是平行四邊形；③所以梯形不是正方形」中的小前提是（ ）
和②答案：ｂ
4．用數學歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應取的項是（ ）
ａ．1答案：ｄ
5．5．在證明命題「對於任意角，」的過程：
「」中應用了（ ）
ａ．分析法綜合法分析法和綜合法綜合使用間接證法
答案：ｂ
6．要使成立，則應滿足的條件是（ ）
ａ．且且
ｃ．且且或且
答案：ｄ
7．下列給出的平面圖形中，與空間的平行六面體作為模擬物件較為合適的是（ ）
ａ．三角形梯形平行四邊形矩形
答案：ｃ
8．命題「三角形中最多只有乙個內角是鈍角」的結論的否定是（ ）
ａ．有兩個內角是鈍角有三個內角是鈍角
ｃ．至少有兩個內角是鈍角 ｄ．沒有乙個內角是鈍角
答案：ｃ
9．用數學歸納法證明能被8整除時，當時，對於可變形為（ ）
答案：ａ
10．已知扇形的弧長為，所在圓的半徑為，模擬三角形的面積公式：底高，可得扇形的面積公式為（ ）
不可模擬
答案：ｃ
11．已知已知，，，則以下結論正確的是（ ）
大小不定
答案：ｂ
12．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結論是（ ）
ａ．ｂ．
ｃ．ｄ．
答案：ｂ
二、填空題
13．已知，則中共有項．
答案 ：
14．已知經過計算和驗證有下列正確的不等式，，
，根據以上不等式的規律，請寫出對正實數成立的條件不等式 ．
答案：當時，有
15．在數列中，，，可以猜測數列通項的表示式為 ．
答案：16．若三角形內切圓的半徑為，三邊長為，則三角形的面積等於，根據模擬推理的方法，若乙個四面體的內切球的半徑為，四個面的面積分別是，則四面體的體積 ．
答案：三、解答題
17．已知是整數，是偶數，求證：也是偶數．
證明：（反證法）假設不是偶數，即是奇數．
設，則．
是偶數，
是奇數，這與已知是偶數矛盾．
由上述矛盾可知，一定是偶數．
18．已知命題：「若數列是等比數列，且，則數列也是等比數列」．模擬這一性質，你能得到關於等差數列的乙個什麼性質？並證明你的結論．
解：模擬等比數列的性質，可以得到等差數列的乙個性質是：若數列是等差數列，則數列也是等差數列．
證明如下：
設等差數列的公差為，則，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列．
19．已知，且，求證：．
證明：因為，且，
所以，，要證明原不等式成立，只需證明r，
即證，從而只需證明，
即，因為，，
所以成立，故原不等式成立．
20．用三段論方法證明：．
證明：因為，所以（此處省略了大前提），
所以（兩次省略了大前提，小前提），
同理，，，
三式相加得．
（省略了大前提，小前提）
21．由下列不等式，，，，，你能得到乙個怎樣的一般不等式？並加以證明．
解：根據給出的幾個不等式可以猜想第個不等式，即一般不等式為：
．用數學歸納法證明如下：
（1）當時，，猜想成立；
（2）假設當時，猜想成立，即，
則當時，
，即當時，猜想也正確，所以對任意的，不等式成立．
22．是否存在常數，使得等式對一切正整數都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
解：假設存在，使得所給等式成立．
令代入等式得解得
以下用數學歸納法證明等式對一切正整數都成立．
（1）當時，由以上可知等式成立；
（2）假設當時，等式成立，即，
則當時，
．由（1）（2）知，等式結一切正整數都成立．
直接證明與間接證明
教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ...
直接證明與間接證明
1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等，q表示要證明的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後...
直接證明與間接證明
一 目標與策略 明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件，要做到心中有數！學習目標 結合已經學過的數學例項，了解直接證明的兩種基本方法 綜合法和分析法，了解間接證明的一種基本方法 反證法 了解綜合法 分析法和反證法的思考過程 特點.重點難點 重點 根據問題的特點，結合綜合法 分析法和反證...