三種證明方法的定義與步驟：
1. 綜合法是由原因推導到結果的證明方法，它是利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立的證明方法。
2. 分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求推證過程中，使每一步結論成立的充分條件，直到最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止的證明方法。
3. 反證法假設原命題的結論不成立,經過正確的推理,最後得出矛盾,由此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法.
反證法法證明乙個命題的一般步驟：
(1) 假設命題的結論不成立； (2) 根據假設進行推理,直到推理中匯出矛盾為止
(3) 斷言假設不成立(4) 肯定原命題的結論成立
題型一：用綜合法證明數學命題
例1 ：對於定義域為的函式，如果同時滿足以下三條：①對任意的，總有；②；③若，都有成立，則稱函式為理想函式．
(1) 若函式為理想函式，求的值；
(2)判斷函式（）是否為理想函式，並予以證明；
解析：（1）取可得．
又由條件①，故．
（2）顯然在[0，1]滿足條件①；
也滿足條件②．若，，，則
，即滿足條件③，
故理想函式．
注：緊扣定義，證明函式（）滿足三個條件
題型二：用分析法證明數學命題
例2：已知：，求證：.
證明：∵ ∴ 要證，
去分母後需要證：（1－a）+4a≥9a（1—a），
移項合併同類項，即需要證：9—6a+1≥0，
即要證；…………（1）
而（1）式顯然成立， ∴ 原不等式成立。
題型三：用反證法證明數學命題或判斷命題的真假
例3 ：已知，證明方程沒有負數根
解析：假設是的負數根，則且且
，解得，這與矛盾，
故方程沒有負數根
注：（1）凡是「至少」、「唯一」或含有否定詞的命題從正面突破往往比較困難，適宜用反證法。即 「正難則反」；（2）反證法步驟：假設結論不成立→推出矛盾→假設不成立。
選擇題1.用反證法證明命題：若整係數方程有有理根，那麼中至少有乙個是偶數，下列假設中正確的是（ ）.
a、假設都是偶數b、假設都不是偶數
c、假設中至多有乙個偶數 d、假設中至多有兩個偶數
答案；b
2．若三角形能剖分為兩個與自己相似的三角形，那麼這個三角形一定是（ ）
a.銳角三角形 b. 直角三角形c. 鈍角三角形 d. 不能確定
答案： b
3.已知，則使得都成立的取值範圍是（ b ）
a.（0b（0c. （0d. （0，）
提示；x∈（0，），由得出結論。
填空題4．若，則
答案：500
5. 如圖，在平面直角座標系中，設三角形的頂點分別為，點**段ao上的一點（異於端點），這裡均為非零實數，設直線分別與邊交於點，某同學已正確求得直線的方程為，請你完成直線的方程
答案：6．將全體正整數排成乙個三角形數陣：
按照以上排列的規律，第行（）從左向右的第3個數為
答案：。
解答題7. 若且，求證：
[解析]要證，只需證
即，因，只需證
即，設，則
成立，從而成立
8.在銳角三角形中,求證:
[解析]為銳角三角形，，
在上是增函式，
同理可得，
9. 設為非零向量，且不平行，求證，不平行
[解析]假設，則，
不平行，，因方程組無解，故假設不成立，即原命題成立
10. 已知a、b、c成等差數列且公差，求證：、、不可能成等差數列
[解析] a、b、c成等差數列，
假設、、成等差數列，則，從而與矛盾，、、不可能成等差數列
11. 已知證明：
[解析] 即證：
設.當x∈（-1，0）時，k′(x)>0，∴k(x)為單調遞增函式；
當x∈（0，∞）時，k′(x)<0，∴k(x)為單調遞減函式；
∴x=0為k(x)的極大值點，
∴k(x)≤k(0)=0.
即12. 已知函式，， 的最小值恰好是方程的三個根，其中．求證：；
[解析] 三個函式的最小值依次為，，，
由，得∴，故方程的兩根是，．
故，．，即
∴ ．
改變後直接證明與間接證明
1.用反證法證明命題：若整係數方程有有理根，那麼中至少有乙個是偶數，下列假設中正確的是（ ）.
a、假設都是偶數b、假設都不是偶數
c、假設中至多有乙個偶數 d、假設中至多有兩個偶數
2．若三角形能剖分為兩個與自己相似的三角形，那麼這個三角形一定是（ ）
a.銳角三角形 b. 直角三角形c. 鈍角三角形 d. 不能確定
3．若，則
4 . 若且，求證：
5.在銳角三角形中,求證:
6. 設為非零向量，且不平行，求證，不平行
7. 已知a、b、c成等差數列且公差，求證：、、不可能成等差數列
8.對於定義域為的函式，如果同時滿足以下三條：①對任意的，總有；②；③若，都有成立，則稱函式為理想函式．
(1) 若函式為理想函式，求的值；
(2)判斷函式（）是否為理想函式，並予以證明；
高一數學直接證明與間接證明練習題
推理與證明綜合測試題 一 選擇題 1 分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使結論成立的 充分條件必要條件充要條件等價條件 答案 2 結論為 能被整除，令驗證結論是否正確，得到此結論成立的條件可以為 且為正奇數為正偶數 答案 3 在中，則一定是 銳角三角形直角三角形鈍角三角形不確定 答案 4 在等差數...
直接證明與間接證明
教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ...
直接證明與間接證明
1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等，q表示要證明的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後...