直接證明與間接證明、數學歸納法
知識盤點
直接證明
1、綜合法
（1）定義：一般地，從命題的已知條件出發，利用公理、已知的定義及定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法.
（2）綜合法的的基本思路：執因索果綜合法又叫「順推證法」或「由因導果法」.它是從已知條件和某些學過的定義、公理、公式、定理等出發，通過推導得出結論.
（3）綜合法的思維框圖：用表示已知條件，為定義、定理、公理等，表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：
（已知） （逐步推導結論成立的必要條件） （結論）
2、分析法
（1）定義：一般地，從需要證明的命題出發，分析使這個命題成立的充分條件，逐步尋找使命題成立的充分條件，直至所尋求的充分條件顯然成立（已知條件、定理、定義、公理等），或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種證明方法，叫做分析法.
（2）分析法的基本思路：執果索因分析法又叫「逆推證法」或「執果索因法」.它是從要證明的結論出發，分析使之成立的條件，即尋求使每一步成立的充分條件，直到最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.
（3）分析法的思維框圖：用表示已知條件和已有的定義、公理、公式、定理等，所要證明的結論，則用分析法證明可用框圖表示為結論） （逐步尋找使結論成立的充分條件） （已知）
（4）分析法的格式：要證……，只需證……，只需證……，因為……成立，所以原不等式得證。
間接證明
反證法（1）定義：一般地，首先假設要證明的命題結論不正確，即結論的反面成立，然後利用公理，已知的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實等矛盾的結論，以此說明假設的結論不成立，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.
（2）反證法的特點：反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設要證的命題不成立，即結論的反面成立，在已知條件和「假設」這個新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設等相矛盾的結論，從而判定結論的反面不能成立，即證明了命題的結論一定是正確的.
（3）反證法的基本思路：「假設——矛盾——肯定」
①分清命題的條件和結論．
②做出與命題結論相矛盾的假設．
③由假設出發，結合已知條件，應用演繹推理方法，推出矛盾的結果．
④斷定產生矛盾結果的原因，在於開始所做的假定不真，於是原結論成立，從而間接地證明原命題為真．
（4）用反證法證明命題「若則」，它的全部過程和邏輯根據可以表示為：
（5）反證法的優點：對原結論否定的假定的提出，相當於增加了乙個已知條件.
規律方法指導
1.用反證法證明數學命題的一般步驟：
①反設——假設命題的結論不成立，即假定原命題的反面為真；
②歸謬——從反設和已知條件出發，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果；
③存真——由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立.
2.適合使用反證法的數學問題：
①要證的結論與條件之間的聯絡不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；比如「存在性問題、唯一性問題」等；
②如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形.比如帶有「至少有乙個」或「至多有乙個」等字樣的數學問題.
數學歸納法
證明乙個與正整數n 有關的命題，可按下列步驟進行：
（1）（歸納奠基）證明當n取第乙個n0（n0∈n﹡）時命題成立；
（2）（歸納遞推）假設n=k（k≥n0，k∈n﹡）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立。上述證明方法叫做數歸納法。
數學歸納法是證明與自然數有關的命題的常用方法，它是在歸納的基礎上進行的演繹推理，其大前提是皮亞諾公理(即歸納公理)：
設m是正整數集合的子集，且具有如下性質：
①1∈m；
②若k∈m，則k＋1∈m，那麼必有m＝n*成立.
數學歸納法證明的兩個步驟體現了遞推的數學思想，第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據，通過對兩個命題的證明替代了無限多次的驗證，實現了有限與無限的辯證統一
經典例題透析
型別一：綜合法
例1．如圖，設在四面體中，，，是的中點. 求證：垂直於所在的平面
思路點撥：要證垂直於所在的平面，只需在所在的平面內找到兩條相交直線與垂直.
解析：連、因為是斜邊上的中線，所以又因為,而是、、的公共邊，所以於是,而，因此∴，由此可知垂直於所在的平面.
總結昇華：這是一例典型的綜合法證明.現將用綜合法證題的過程展現給大家，供參考： （1）由已知是斜邊上的中線，推出，記為（已知）； （2）由和已知條件，推出三個三角形全等，記為；
（3）由三個三角形全等，推出，記為；
（4）由推出，記為（結論）. 這個證明步驟用符號表示就是（已知）（結論）.
舉一反三：
【變式1】求證：.
【答案】待證不等式的左端是3個數和的形式，右端是一常數的形式，而左端3個分母的真數相同，由此可聯想到公式，轉化成能直接利用對數的運算性質進行化簡的形式.∵，∴左邊
【變式2】在銳角三角形abc中，求證：
【答案】∵在銳角三角形abc中，，∴，∵在內正弦函式單調遞增，∴,即同理，，∴
型別二：分析法
例2．求證：
思路點撥：由於本題所給的條件較少，且不等式中項都是根式的形式，因而用綜合法證明比較困難.這時，可從結論出發，逐步反推，尋找使命題成立的充分條件；此外，若注意到，，也可用綜合法證明.
法一：分析法
要證成立，
只需證明，
兩邊平方得，
所以只需證明，
兩邊平方得，即，∵恆成立，∴原不等式得證.
法二：綜合法
∵，， ，∴.
∴.∴.即原不等式成立.
總結昇華：
1．在證明過程中，若使用綜合法出現困難時，應及時調整思路，分析一下要證明結論成立需要怎樣的充分條件是明智之舉.從結論出發，結合已知條件，逐步反推，尋找使當前命題成立的充分條件的方法.
2．綜合法寫出的證明過程條理清晰，易於理解；但綜合法的證題思路並不容易想到，因此，在一般的證題過程中，往往是先用分析法尋找解題思路，再用綜合法書寫證明過程.
舉一反三：
【變式1】求證：
【答案】∵、、均為正數
∴要證成立，只需證明，
兩邊展開得即，所以只需證明即， ∵恆成立， ∴成立.
【變式2】求證：
【答案】
法一：要證成立，
只需證明，即只需證明即，∵恆成立，
∴成立.
法二【變式3】若求證：.
【答案】由，得，即 （*）另一方面，要證， 即證，
即證， 化簡，得. ∵上式與(*)式相同.所以，命題成立.
型別三：反證法
例3．設二次函式中的、、均為奇數，求證：方程無整數根.
思路點撥：由於要證明的結論與條件之間的聯絡不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰，所以可考慮用反證法.對於本題可通過奇偶數分析得出結論.
證明：假設方程有整數根，則成立，所以. 因為為奇數，所以也為奇數，且與都必須為奇數.因為已知、為奇數，又為奇數，所以為偶數，這與為奇數矛盾，所以假設不成立，原命題成立.
總結昇華：反證法適宜證明「存在性」、「唯一性」，帶有「至少有乙個」或「至多有乙個」等字樣的數學問題.
舉一反三：
【變式1】若都為實數，且，，， 求證：中至少有乙個大於0.
【答案】假設都不大於0，則，，，所以
又因為，，，，所以，所以，這與矛盾，所以假設不成立，原命題成立.
【變式2】設函式在內都有，且恆成立，求證：對任意都有.
【答案】假設「對任意都有」不成立，則，有成立
又∵這與矛盾，所以假設不成立，原命題成立.
【變式3】已知：，求證
【答案】假設，則成立，所以. 因為，所以，所以，這與矛盾， 所以假設不成立，原命題成立.
型別四：數學歸納法
題型一用數學歸納法證明恒等式
【例1】是否存在常數a、b、c，使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對於一切n∈n*都成立？若存在，求出a、b、c並證明；若不存在，試說明理由.
【解析】 假設存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對於一切n∈n*都成立.
當n＝1時，a(b＋c)＝1；
當n＝2時，2a(4b＋c)＝6；
當n＝3時，3a(9b＋c)＝19.
解方程組解得
證明如下：
當n＝1時，顯然成立；
假設n＝k(k∈n*，k≥1)時等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；
則當n＝k＋1時，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1].
因此存在a＝，b＝2，c＝1，使等式對一切n∈n*都成立.
【點撥】 用數學歸納法證明與正整數n有關的恒等式時要弄清等式兩邊的項的構成規律：由n＝k到n＝k＋1時等式左右各如何增減，發生了怎樣的變化.
【變式訓練1】用數學歸納法證明：
當n∈n*時，＋＋…＋＝.
【證明】(1)當n＝1時，左邊＝＝，右邊＝＝，
左邊＝右邊，所以等式成立.
(2)假設當n＝k(k∈n*)時等式成立，即有＋＋…＋＝，
則當n＝k＋1時，
＋＋…＋＋＝＋
＝＝＝＝，
所以當n＝k＋1時，等式也成立.
由(1)(2)可知，對一切n∈n*等式都成立.
題型二用數學歸納法證明整除性問題
【例2】 已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然數m使得任意的n∈n*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，並證明你的結論；若不存在，請說明理由.
【解析】 由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：f(n)能被36整除，下面用數學歸納法證明.
(1)當n＝1時，結論顯然成立；
(2)假設當n＝k(k≥1，k∈n*)時結論成立，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除.
直接證明與間接證明
教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ...
直接證明與間接證明
1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等，q表示要證明的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後...
直接證明與間接證明
一 目標與策略 明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件，要做到心中有數！學習目標 結合已經學過的數學例項，了解直接證明的兩種基本方法 綜合法和分析法，了解間接證明的一種基本方法 反證法 了解綜合法 分析法和反證法的思考過程 特點.重點難點 重點 根據問題的特點，結合綜合法 分析法和反證...