第七章推理與證明第2課時直接證明與間接證明

1. 已知向量m＝(1，1)與向量n＝(x，2－2x)垂直，則x

答案：2

解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.

∵ m⊥n，∴ m·n＝0，即x＝2.

2. 用反證法證明命題「如果a>b，那麼》」時，假設的內容應為

答案：＝或<

解析：根據反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，即＝或<.

3. (選修12p44練習題3改編)－2與－的大小關係是

答案：－2>－

解析：由分析法可得，要證－2>－，只需證＋>＋2，即證13＋2>13＋4，即》2.因為42>40，所以－2>－成立．

4. 定義集合運算：a·b＝，設集合a＝，b＝，則集合a·b的所有元素之和為________．

答案：0

解析：依題意知α≠kπ＋，k∈z.

①α＝kπ＋(k∈z)時，b＝，

a·b＝；

②α＝2kπ或α＝2kπ＋(k∈z)時，b＝，a·b＝；

③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－(k∈z)時，b＝，a·b＝；

④α≠且α≠kπ＋(k∈z)時，b＝，a·b＝．

綜上可知a·b中的所有元素之和為0.

5. (選修12p44練習題4改編)設a、b為兩個正數，且a＋b＝1，則使得＋≥μ恆成立的μ的取值範圍是________．

答案：(－∞，4]

解析：∵ a＋b＝1，且a、b為兩個正數，∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.要使得＋≥μ恆成立，只要μ≤4.

1. 直接證明

(1) 定義：直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法．

(2) 一般形式

a b c … 本題結論．

(3) 綜合法

① 定義：從已知條件出發，以已知的定義、公理、定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止．這種證明方法稱為綜合法．

② 推證過程

… …(4) 分析法

① 定義：從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止．這種證明方法稱為分析法．

② 推證過程

… …2. 間接證明

(1) 常用的間接證明方法有反證法、正難則反等．

(2) 反證法的基本步驟

① 反設——假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真．

② 歸謬——從反設和已知出發，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果．

③ 存真——由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立．

[備課札記]

題型1　直接證明(綜合法和分析法)

例1　數列的前n項和記為sn，已知a1＝1，an＋1＝sn(n＝1，2，3，…)，證明：

(1) 數列是等比數列；

(2) sn＋1＝4an.

證明：(1) ∵ an＋1＝sn＋1－sn，an＋1＝sn(n＝1，2，3，…)，∴ (n＋2)sn＝n(sn＋1－sn)，

整理得nsn＋1＝2(n＋1)sn，∴＝2·，

即＝2，∴ 數列是等比數列．

(2) 由(1)知：＝4·(n≥2)，於是sn＋1＝4·(n＋1)·＝4an(n≥2)．又a2＝3s1＝3，∴ s2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，

∴ 對一切n∈n*，都有sn＋1＝4an.

例2　設a、b、c均為大於1的正數，且ab＝10，求證：logac＋logbc≥4lgc.

證明：(分析法)由於a>1，b>1，c>1，故要證明logac＋logbc≥4lgc，只要證明＋≥4lgc，即≥4，因為ab＝10，故lga＋lgb＝1.只要證明≥4，由於a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0設首項為a1的正項數列的前n項和為sn，q為非零常數，已知對任意正整數n、m，sn＋m＝**＋qmsn總成立．求證：

數列是等比數列．

證明：因為對任意正整數n、m，sn＋m＝**＋qmsn總成立，令n＝m＝1，得s2＝s1＋qs1，則a2＝qa1.令m＝1，得sn＋1＝s1＋qsn　①，從而sn＋2＝s1＋qsn＋1　②，②－①得an＋2＝qan＋1(n≥1)，綜上得an＋1＝qan(n≥1)，所以數列是等比數列．

題型2　間接證明(反證法)

例3　證明：，，不能為同一等差數列中的三項．

證明：假設，，為同一等差數列的三項，則存在整數m、n滿足

①×n－②×m得n－m＝(n－m)，兩邊平方得3n2＋5m2－2mn＝2(n－m)2，左邊為無理數，右邊為有理數，且有理數≠無理數，故假設不正確，即，，不能為同一等差數列的三項．

已知下列三個方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有乙個方程有實根，求實數a的取值範圍．

解：若方程沒有乙個實數根，則

解之得－故三個方程至少有乙個方程有實數根的a的取值範圍是.

1. 用反證法證明命題「a·b(a、b∈z )是偶數，那麼a、b中至少有乙個是偶數．」那麼反設的內容是

答案：假設a、b都是奇數(a、b都不是偶數)

解析：用反證法證明命題時反設的內容是否定結論．

2. 已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＜c，b＜c，＋＝1，若以a、b、c為三邊構造三角形，則c的取值範圍是________．

答案：(10，16)

解析：要以a、b、c為三邊構造三角形，需要滿足任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊，而ac恆成立．而a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥16，∴ c<16.又》， >，∴ <＋＝1，∴ c>10，∴ 103.

設函式f0(x)＝1－x2，f1(x)＝，fn(x)＝，(n≥1，n≥n)，則方程f1(x)＝有________個實數根，方程fn(x)＝有________個實數根．

答案：4　2n＋1

解析：f1(x)＝＝＝，∴ x2＝或x2＝有4個解．

∵ 可推出n＝1，2，3…，根個數分別為22，23，24，

∴ 通過模擬得出fn(x)＝有2n＋1個實數根．

4. 若實數x、y、m滿足|x－m|＞|y－m|，則稱x比y遠離m.

(1) 若x2－1比1遠離0，求x的取值範圍；

(2) 對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠離2ab.

(1) 解：x

(2) 證明：對任意兩個不相等的正數a、b，有

a3＋b3>2ab，a2b＋ab2>2ab.

1. 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：證明：

要證0，只需證(a－b)(2a＋b)>0，只需證(a－b)(a－c)>0.∵ a>b>c，∴ a－b>0，a－c>0，∴ (a－b)(a－c)>0顯然成立．故原不等式成立．

2. 已知等差數列的首項a1＞0，公差d＞0，前n項和為sn，且m＋n＝2p(m、n、p∈n*)，求證：sn＋**≥2sp.

證明：∵m2＋n2≥2mn，∴2(m2＋n2)≥(m＋n)2.

又m＋n＝2p，∴m2＋n2≥2p2.

3. 如圖，abcd為直角梯形，∠bcd＝∠cda＝90°，ad＝2bc＝2cd，p為平面abcd外一點，且pb⊥bd.

(1) 求證：pa⊥bd；

(2) 若pc與cd不垂直，求證：pa≠pd.

證明：(1) 因為abcd為直角梯形，ad＝ab＝bd，

所以ad2＝ab2＋bd2，因此ab⊥bd.

又pb⊥bd，ab∩pb＝b，ab，pb平面pab，

所以bd⊥平面pab，

又pa平面pab，所以pa⊥bd.

(2) 假設pa＝pd，取ad中點n，鏈結pn、bn，

則pn⊥ad，bn⊥ad，且pn∩bn＝n，

所以ad⊥平面pnb，得pb⊥ad.

又pb⊥bd，且ad∩bd＝d，得pb⊥平面abcd，所以pb⊥cd.又因為bc⊥cd，且pb∩bc＝b，所以cd⊥平面pbc，所以cd⊥pc，與已知條件pc與cd不垂直矛盾，所以pa≠pd.

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