答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
解析：等式右邊的底數為左邊的項數．
4. (選修12p29練習題3(2)改編)觀察下列等式：
＋2＝4；×2＝4；＋3＝；×3＝；＋4＝；×4＝；…，根據這些等式反映的結果，可以得出乙個關於自然數n的等式，這個等式可以表示為
答案：＋(n＋1)＝×(n＋1)(n∈n*)
解析：由歸納推理得＋(n＋1)＝＝，×(n＋1)＝，所以得出結論＋(n＋1)＝×(n＋1)(n∈n*)．
5. 已知扇形的弧長為l，所在圓的半徑為r，模擬三角形的面積公式：s＝×底×高，可得扇形的面積公式為________．
答案： rl
1. 歸納推理
(1) 歸納推理的定義
從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理．
(2) 歸納推理的思維過程大致如圖
―→―→
(3) 歸納推理的特點
① 歸納推理的前提是幾個已知的特殊現象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象，該結論超越了前提所包容的範圍．
② 由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明和實踐檢驗，因此，它不能作為數學證明的工具．
③ 歸納推理是一種具有創造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發現問題和提出問題．
2. 模擬推理
(1) 根據兩個(或兩類)物件之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為模擬推理．
(2) 模擬推理的思維過程
―→―→
3. 演繹推理
(1) 演繹推理是根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程．
(2) 主要形式是三段論式推理．
(3) 三段論的常用格式為
m — p(m是p)①
s－m(s是m)②
s — p(s是p)③
其中，①是大前提，它提供了乙個一般性的原理；②是小前提，它指出了乙個特殊物件；③是結論，它是根據一般原理，對特殊情況作出的判斷．
[備課札記]
題型1 歸納推理
例1 在各項為正的數列中，數列的前n項和sn滿足sn＝.
(1) 求a1，a2，a3；
(2) 由(1)猜想數列的通項公式；
(3) 求sn.
解：(1) 當n＝1時，s1＝，即a21－1＝0，解得a1＝±1.∵ a1>0，∴ a1＝1；
當n＝2時，s2＝，即a＋2a2－1＝0.
∵ a2>0, ∴ a2＝－1.同理可得，a3＝－.
(2) 由(1)猜想an＝－.
(3) sn＝1＋(－1
已知數列滿足a1＝2，an＋1＝(n∈n*)，則a3a1·a2·a3·…·a2007
答案：－ 3
解析：(解法1)分別求出a2＝－3、a3＝－、a4＝、a5＝2，可以發現a5＝a1，且a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.
(解法2)由an＋1＝，聯想到兩角和的正切公式，設a1＝2＝tanθ，則有a2＝tan，a3＝tan，a4＝tan，a5＝tan(π＋θ)＝a1，….則a1·a2·a3·a4＝1，
故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.
題型2 模擬推理
例2 現有乙個關於平面圖形的命題：如圖所示，同乙個平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中乙個的某頂點在另乙個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.模擬到空間，有兩個稜長均為a的正方體，其中乙個的某頂點在另乙個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．
答案：解析：在已知的平面圖形中，中心o到兩邊的距離相等(如圖1)，即om＝on.
四邊形opar是圓內接四邊形，rt△opn≌rt△orm，因此s四邊形opar＝s正方形oman＝a2.
同樣地，模擬到空間，如圖2.
兩個稜長均為a的正方體重疊部分的體積為a3.
已知橢圓具有性質：若m、n是橢圓c上關於原點對稱的兩個點，點p為橢圓上任意一點，當直線pm、pn的斜率都存在，並記為kpm、kpn，那麼kpm與kpn之積是與點p位置無關的定值．試對雙曲線－＝1寫出具有類似特性的性質，並加以證明．
解：類似的性質為：若m、n是雙曲線：
－＝1上關於原點對稱的兩個點，點p是雙曲線上任意一點，當直線pm、pn的斜率都存在，並記為kpm，kpn時，那麼kpm與kpn之積是與點p位置無關的定值．證明如下：
設點m的座標為(m，n)，則點n的座標為(－m，－n)，其中－＝1.
又設點p的座標為(x，y)，由kpm＝，kpn＝，得kpm·kpn＝·＝，
將y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得kpm·kpn＝.
題型3 演繹推理
例3 設同時滿足條件：①≤bn＋1(n∈n*)；②bn≤m(n∈n*，m是與n無關的常數)的無窮數列叫「特界」 數列．
(1) 若數列為等差數列，sn是其前n項和，a3＝4，s3＝18，求sn；
(2) 判斷(1)中的數列是否為「特界」 數列，並說明理由．
解：(1) 設等差數列的公差為d，
則a1＋2d＝4，3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，sn＝na1＋d＝－n2＋9n.
(2) 由－sn＋1＝
＝＝＝－1<0，得綜上，數列是「特界」數列．
設數列滿足a1＝0且－＝ 1.
(1) 求的通項公式；
(2) 設bn＝，記sn＝bk，證明：sn<1.
(1)解： 由題設－＝1，
即是公差為1的等差數列．
又＝1，故＝n.所以an＝1－.
(2) 證明： 由(1)得
bn＝＝＝－，
sn＝1. 觀察下列不等式：
1＋＜；1＋＋＜；1＋＋＋＜；…；照此規律，第五個不等式是________．
答案：1＋＋＋＋＋<
2. 觀察下列各式：a＋b＝1；a2＋b2＝3；a3＋b3＝4；a4＋b4＝7；a5＋b5＝11；…；則a10＋b10
答案：123
解析：(解法1)由a＋b＝1；a2＋b2＝3得ab＝－1代入後三個等式中符合，則a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123.
(解法2)令an＝an＋bn，易得an＋2＝an＋an＋1，從而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
3. 在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的稜長的比為1∶2，則它們的體積比為________．
答案：1∶8
解析：考查模擬的方法，＝＝·＝×＝，所以體積比為1∶8.
4. (選修12p31練習題2改編)在平面幾何裡可以得出正確結論：「正三角形的內切圓半徑等於這正三角形的高的」．拓展到空間，模擬平面幾何的上述結論，則正四面體的內切球半徑等於這個正四面體的高的
答案：解析：運用分割法思想，設正四面體的高為h，底面面積為s，正四面體sabc的內切球的半徑為r，球心為o，鏈結os、oa、ob、oc，將四面體分成四個三稜錐，則vs abc＝vo sac＋vo sab＋vo sbc＋vo abc＝sr＋sr＋sr＋sr＝sr＝sh，所以r＝h.
5. (2013·鎮江期末)觀察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推測到乙個一般的結論：對於n∈n
答案：1－
1. (2012·江西文)觀察下列事實|x|＋|y|＝1的不同整數解(x，y)的個數為4 , |x|＋|y|＝2的不同整數解(x，y)的個數為8, |x|＋|y|＝3的不同整數解(x，y)的個數為12 ….則|x|＋|y|＝20的不同整數解(x，y)的個數為________．
答案：80
解析：由已知條件，得|x|＋|y|＝n(n∈n*)的整數解(x，y)個數為4n，故|x|＋|y|＝20的整數解(x，y)的個數為80.
2. 若等差數列的公差為d，前n項的和為sn，則數列為等差數列，公差為.類似地，若各項均為正數的等比數列的公比為q，前n項的積為tn，則數列{}為等比數列，公比為________．
答案：解析：tn＝bq，＝b1()n－1.
3. 若乙個n麵體有m個面是直角三角形，則稱這個n麵體的直度為，如圖，在長方體abcda1b1c1d1中，四面體a1abc的直度為________．
答案：1
解析：n＝4，m＝4，＝＝1.
4. 若p0(x0，y0)在橢圓＋＝1(a＞b＞0)外，過p0作橢圓的兩條切線的切點分別為p1、p2，則切點弦p1p2所在的直線方程是＋＝1.那麼對於雙曲線則有如下命題：
若p0(x0，y0)在雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)外，過p0作雙曲線的兩條切線的切點分別為p1、p2，則切點弦p1p2所在的直線方程是________．
第七章推理與證明第2課時直接證明與間接證明
1.已知向量m 1，1 與向量n x，2 2x 垂直，則x 答案 2 解析 m n x 2 2x 2 x.m n，m n 0，即x 2.2.用反證法證明命題 如果a b，那麼 時，假設的內容應為 答案 或 解析 根據反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，即 或 3.選修12p44練習題3改編 2與...
第七章推理與證明第2課時直接證明與間接證明
第七章推理與證明第2課時直接證明與間接證明 對應學生用書 文 理 95 96頁 1.已知向量m 1，1 與向量n x，2 2x 垂直，則x 答案 2 解析 m n x 2 2x 2 x.m n，m n 0，即x 2.2.用反證法證明命題 如果a b，那麼 時，假設的內容應為 答案 或 解析 根據反證...
科教版八上第七課偶像與自我第1課時
年級 八年級學科 政治課型 預習展示上課時間 課題 第七課偶像與自我第1課時 透視 追星 主編 盤德旺審核班級 組別 姓名 一 學習目標 1 使學生認識到 追星 是一種正常現象，掌握 追星 的利與弊。2 學會將 追星 轉化為自己前進的動力。3.樹立正確的 追星 觀，將偶像所代表的精神內化為自我成長的...