第1課時）
重點：1．差作法和商比法；2．綜合法和分析法；3．其它方法的簡單應用。
難點：1．分析法的靈活運用；2．放縮技巧的使用。
1．理解不等式的證明。2. 掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式；3．了解證明不等式的其它方法。
常以綜合題型出現，一般與函式、數列、方程等內容綜合。對技巧的要求不是很高。
⑴ 證明不等式常用的主要方法：比較法，分析法，綜合法，反證法。數學歸納法。
⑵ 證明不等式常用的主要技巧：放縮，換元，配方，拆項，利用基本不等式，利用不等式的性質，利用函式值域和函式的增減性。
⑶ 證明不等式常用的基本不等式：
① 一式的平方不小於零。
即（） 或（）。後者的變式為： 或。
② 兩個大於零的式子的算術平均值不小於它們的幾何平均值。
即（） ，可推廣至多個式子。
③ 倒數的和不小於2。
即（同號） 。
上述基本不等式中，當且僅當時取等號。
前三個基本不等式的內在聯絡為
1．比較法
⑴ 差比法
要證，只要證。
例．求證： 。
證明：∵，
∴。點評：本題使用差比法。證明不等式時，要判斷一式是否大於零，有時需要使用配方法以及基本不等式。本題使用了配方法以及基本不等式「一式的平方不小於零」。
⑵ 商比法
要證，當時，只要證。當不等式兩邊是積或冪的形式時，可用此法。
例．已知，求證： 。
證明：∵，∴，又，∴，
又， ，
∴。點評：本題使用商比法。
2．綜合法
所謂綜合法就是從已知或以證明過的不等式出發，根據不等式的性質推導出欲證的不等式（由因導果），綜合法的特點是表述簡單、條理清楚，所以在實際證題時，往往先用分析法來尋求證明途徑，而後用綜合法來書寫證明過程。
例．求證： 。
證明：∵ 底數大於1的對數函式是增函式，
∴點評：本題使用綜合法，利用了縮放技巧。所謂「縮放」，就是在待證不等式兩邊的值的中間找乙個或多個中間量，再根據不等式的傳遞性來間接證得結論成立。
縮放時可以捨去或加上一些項；也可以加大或減小一些項；還可以把分子或分母放大縮小。證對數不等式的關鍵在於利用對數函式的性質。
例．求證： （為正整數）。
證明：∵⑴
n）把上述各式相加得，
即。點評：本題使用綜合法，利用了放縮技巧。這裡是把各式相加，有時需要把各式項乘，例如習題中的第7題。
例．若，為大於1的整數，求證： 。
證明：∵為大於1的整數，故利用二項式定理得，
∵，∴的所有項都是正的，
∴，∴。
點評：本題使用綜合法，利用了二項式定理以及縮放技巧。
例．求證： （）。
證明：∵（），
∴ 原不等式左邊
右邊點評：本題使用綜合法，利用了拆項技巧。
例．求證不論為何實數，都有。
證明：設，即，
∵為實數，∴，即，
∴，即。
點評：本題使用綜合法，利用函式的值域證不等式。即要證（或），可先找出乙個關於的不等式，再解出。
例．已知，求證： 。
證明：由可得，
則，∴，當， 時等號成立。
點評：本題是條件不等式證明，證條件不等式與證一般的不等式並沒有什麼不同，關鍵在於條件的轉化應用。可以利用條件消元，再運用比較法證明。要證最後一式的大於零或小於零，往往需要配方。
1．、為互不相等的正數，求證： 。
證明：∵，
∴。點評：本題使用差比法，使用技巧「一式的平方不小於零」。
2．已知，求證：
解法一： ，
∵，∴， ，∴∴。
解法二： ∵，∴， ，而∴，
∴。點評：解法一使用差比法，解法二使用商比法。
3．若，求證。
證明：∵，∴⑴，⑵，
⑴+⑵得。
點評：本題利用基本不等式。
4．求證： （）。
證明：∵（=2，3，…，n）
∴ 原不等式左邊
右邊點評：本題使用綜合法。利用了拆項技巧。改用也可。
5．若，試證： 。
證明：令， ， （為實數），
（∵為實數，∴）
當，即時，上式取等號。
點評：本題使用綜合法，利用了換元技巧。題設為線性方程形式的不等式證明，根據線性方程的特點適當引入引數可使問題簡化。
6．已知， ， ，求證： 。
證明：∵，∴， ， ，
當時，當時，
∴。點評：本題使用綜合法，利用了函式增減性。
7．試證： 。
證明把上述各式兩邊項乘得，
兩邊同時乘以得 ，即，
∴，∴ 原不等式成立 。
點評：本題使用綜合法，利用了放縮技巧。
不等式第1課時
第三章不等式 一 知識結構 二 重點難點 重點 一元二次不等式的解法 二元一次不等式組表示的平面區域及線性規劃問題 利用基本不等式進行不等式證明與求函式的最值 難點 含參不等式的解法，線性規劃中最優整數解的求法，不等式證明 第1課時不等關係 學習導航 知識網路 學習要求 1 通過具體情境,感受在觀察...
第41課時 不等式的證明 1
課題 不等式的證明 1 教學目標 掌握並靈活運用比較法證明簡單的不等式，掌握綜合法與分析法，會利用 綜合法和分析法證明不等式 教學重點 靈活作差比較法 作商比較法證明不等式，能合理進行作差 作商 後的 變形 配湊，會靈活應用綜合法 分析法解決不等式的證明問題。一 主要知識 比較法證明不等式的基本步驟...
第4課時不等式證明 二
證明不等式的其它方法 反證法 換元法 放縮法 判別式法等 反證法 從否定結論出發，經過邏輯推理匯出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原命題是正確的證明方法 換元法 對結構較為複雜，量與量之間關係不甚明了的命題，通過恰當引入新變數，代換原命題中的部分式子，簡化原有結構，使其轉化為便於研究的形式的證...