課題：基本不等式及其應用
一、教學目的
(1)認知：使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈r，當且僅當a=b時取「=」號)和(a、b∈r+，當且僅當a=b時取「=」號)，並能應用它們證明一些不等式．
(2)情感：通過對定理及其推論的證明與應用，培養學生運用綜合法進行推理的能力．
二、教學重難點
重點：兩個基本不等式的掌握；
難點：基本不等式的應用。
三、教材、學生分析
教材分析：兩個基本不等式為以後學習不等式的證明和求函式的最大值或最小值提供了一種方法，基本不等式的理解和掌握對以後的解題是很有幫助的。
學生分析：學生在上新課之前都預習了本節內容，對上課內容有一定的理解。所以根據這一情況多補充了一些內容，增加了課堂容量。
四、教學過程
（一）引入新課
客觀世界中，有些不等式關係是永遠成立的。例如，在周長相等時，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對這些不等關係的證明，常常會歸結為一些基本不等式。
今天， 我們學習兩個最常用的基本不等式。
（二）推導公式
1．奠基
如果a、b∈r，那麼有(a－b)2≥0 ①
把①左邊展開，得
a2－2ab＋b2≥0，
∴a2＋b2≥2ab．
②②式表明兩個實數的平方和不小於它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對任何兩實數a、b都成立．由於取「=」號這種特殊情況，在以後有廣泛的應用，因此通常要指出「=」號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什麼呢？
學生回答：a=b，因為a=ba2+b2=2ab
充要條件通常用「當且僅當」來表達．「當」表示條件是充分的，「僅當」表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈r，那麼a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取「=」號)．
以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現在讓我們共同來探索．
2．探索
公式②反映了兩個實數平方和的性質，下面我們研究兩個以上的實數的平方和，探索可能得到的結果．先考查三個實數．設a、b、c∈r，依次對其中的兩個運用公式②，有
a2＋b2≥2ab；
b2＋c2≥2bc；
c2＋a2≥2ca．
把以上三式疊加，得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
③（當且僅當a=b=c時取「=」號)．
以此類推：如果ai∈r，i=1，2，…，n，那麼有
④(當且僅當a1=a2=…=an時取「=」號)．
④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數學思想與方法——迭代與疊加．
3．練習
求證：a2+b2+c2+3≥2（a+b+c）
4．基本不等式2
直接應用基本不等式1可以得到基本不等式2
如果a、b、∈r+，那麼，在公式②中用替換a，用替換b，立即得到
即 (當且僅當a=b時取「=」號)．
這就是課本中基本不等式2
我們把和分別叫做正數a、b的算術平均數和幾何平均數。
5、公式小結
(1)我們從公式①出發，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關係可圖示如下：
(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導系統，其理論基礎都是實數的平方是非負數．
(3)四個公式中，②、⑤是基礎，最重要．它們還可以用幾何法證明．
幾何法：構造直角三角形abc，使∠c=90°，bc=a，ac=b(a、b∈r+)，則a2＋b2=c2表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而
如上左圖所示，顯然有
∴a2＋b2≥2ab
(當且僅當a=b時取「=」號，這時rt△abc等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數學家趙爽證明勾股定理時所用過的「勾股方圓圖」，同學們在初中已經見過．
公式也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大於等於半弦，如下圖所示：
（三）例題
1、已知x，y∈r+，證明：，並指出等號成立的條件。
2、已知a,b∈r，並且ab=4，求證：，並指出等號成立的條件。
3、已知x，y∈r+，並且x+y=1，求證：xy≤
（其中一題作為練習）
（四）應用
下面我們來解決開始上課時所提到的：在周長相等時，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。
求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。
證明：設矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數，且a≠b)，
同樣周長的正方形的邊長為，
可計算得矩形的面積s=ab，正方形的面積，
由基本不等式2，得（因為a≠b等號不成立）。
又由不等式性質，得，即s′>s.
（五）作業
練習冊p10/6
基本不等式與不等式證明
1.2基本不等式 主備人 遲克勤張瀅好李紅濤審核 朱玉國 學習目標 1.理解並掌握重要的基本不等式，不等式等號成立的條件 2.初步掌握不等式證明的方法 3 理解從兩個正數的基本不等式到三個正數基本不等式的推廣 複習 1 定理1 如果,那麼 2 定理2 基本不等式 如果,那麼 在定理2中的算術平均值的...
不等式專題02 基本不等式的證明
基本不等式的證明 知識網路 1 重要的基本不等式，不等式等號成立的條件 2 證明不等式的方法及應用。典型例題 例1 1 設，已知命題 命題，則是成 立的條件 答案 充分不必要條件 解析 是等號成立的條件。2 若為 abc的三條邊，且，則 2p,p從小到大排列順序是 答案 解析 又 3 設x 0,y ...
8 3基本不等式的證明
本資料 於 七彩教育網 8.3 基本不等式的證明 知識網路 1 重要的基本不等式，不等式等號成立的條件 2 證明不等式的方法及應用。典型例題 例1 1 設，已知命題 命題，則是成 立的 a 必要不充分條件b 充分不必要條件 c 充分必要條件d 既不充分也不必要條件 答案 b。解析 是等號成立的條件。...