基本不等式的證明
【知識網路】
1、重要的基本不等式，不等式等號成立的條件；
2、證明不等式的方法及應用。
【典型例題】
例1：（1）設，已知命題；命題，則是成
立的條件
答案：充分不必要條件
解析：是等號成立的條件。
（2）若為△abc的三條邊，且，
則ｓ,2p,p從小到大排列順序是
答案:．解析：，
又∵∴。
（3）設x > 0, y > 0, ,， a 與b的大小關係
答案：a （4）b克鹽水中，有a克鹽（），若再新增m克鹽（m>0）則鹽水就變鹹了，
試根據這一事實提煉乙個不等式 .
答案：．解析:由鹽的濃度變大得．
（5）設
答案：。解析：。
例2：已知a, b都是正數，並且a b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
答案：證：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 )
= a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)
= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正數，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a b，∴(a b)2 > 0 ∴(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
例3 設，當時，求證：。
解析：，
∴。例4：（1）已知是正常數，，，
求證：，指出等號成立的條件；
（2）利用（1）的結論求函式（）的最小值，
指出取最小值時的值．
答案： ，
故．當且僅當，即時上式取等號；
⑵由⑴得．
當且僅當，即時上式取最小值，即．
【課內練習】
1．設x、y是正實數，且x+y=5,則lgx+lgy的最大值是
答案：2-4lg2。解析：
∵x>0,y>0,5=x+y≥2,∴xy≤()2. 當且僅當x=y=時等號成立. 故lgx+lgy=lgxy≤lg()2=2-4lg2.
2．若a,b均為大於1的正數，且ab＝100，則lga·lgb的最大值是
答案：1解析：。翰林匯
3．在三個結論： ，
，其中正確的個數是
答案：3
解析：可以證明3個不等式都成立。
4．對一切正整數， 不等式恆成立，則b的範圍是
答案：。解析：，即b>1或。
5．已知方程的三根可作為乙個三角形的三邊長，那麼m的取值範圍是
答案：。解析：，又，即。
6．已知a、b為不等的正數，且，試將四個數按從小到大
的順序排列
答案：（1）當時，，得，且，
此時（2）當時，，得，且，
此時（3）當時，與題設矛盾
7．比較下列兩個數的大小：
（1）（2）；
（3）從以上兩小項的結論中，你否得出更一般的結論？並加以證明
答案：（1）,（2）
（3）一般結論：若成立
證明欲證成立
只需證也就是 （）
從而（*）成立，故
8．已知，求證：≥．
答案:∵，∴≥，
兩邊同加上得，≥．
又≥，兩邊同加上得，≥≥，
∴≥．9．設a>0, b>0，且a + b = 1，求證：．
答案 ∴
10．已知函式
（1）設為常數，若在區間上是增函式，求的取值範圍
（2）設集合，若，求實數的取值範圍。
答案：（1）
在上是增函式。
，即（2）由得：，即
當時，恆成立。
又時，【作業本】
a組1．設a、b、c是互不相等的正數，
則上列等式中不恆成立的是
答案：因為，所以（a）恆成立，在b兩側同時乘以得所以b恆成立；在c中，當a>b時，恆成立，a2．若關於的方程有解，則實數的取值範圍是
答案：解析：。
3．設且，
．．則上列結論正確的是
答案：解析：。
4．若，則的取值範圍是
答案：。解析：或，解得。
5．若關於x的不等式x2－ax－6a＜0有解且解的區間長不超過5，則a的取值範圍是
答案：－25≤a＜－24或0＜a≤1。解析：，∴或。
6．已知a、b是不等正數，且a3－b3= a2－b2 求證：1< a +b<．
證明:7．設求證：
答案： ．。
8．設二次函式,方程的兩個根滿足.
(1)當時,證明:;
(2)設函式的圖象關於對稱,證明:.
答案：證明:(1),當時,∵
∴,∴,∴.
又.∵,∴, ,∴,即,∴.
(2)∵為的兩個根,∴, ,
只要證,即證明,此式顯然成立,∴.
b組1．函式y= (x>-1)的圖象最低點座標是
答案：(0,2)
解析：y==(x+1)+≥2.此時x=0.
2．甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，甲、乙兩人誰先到達指定地點
答案：甲解析：t甲=t乙，∴t乙=， =，
∴t甲< t乙。
3．設f(x)是奇函式，對任意的實數x、y，有
則f(x)在區間[a,b]上，
．有最大值f (a有最小值f (a)
有最大值 ．有最小值
上列結論正確的有
答案：．解析：為減函式。
4．設m=,且a+b+c=1，(a、b、c∈r+)，則m的取值範圍是
答案：[8,+∞）。解析：。
5．若x，y＞0，求的最大值。
答案：。解析：。
6．已知,證明:方程的兩實根滿足.
答案：證明:由題設得，∴
∵,∴, ,
又,∴,∴.
7．設（1）證明：a>;
（2）答案：（1）a=
（2）．
8．設f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，
求證：(ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；
(ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）內有兩個實根.
答案:證明：（）因為，所以.
由條件，消去，得；
由條件，消去，得，.
故.（）拋物線的頂點座標為，
在的兩邊乘以，得.
又因為而
所以方程在區間與內分別有一實根。
故方程在內有兩個實根.
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