不等式性質的應用
1．不等式性質成立的條件
運用不等式的基本性質解答不等式問題，要注意不等式成立的條件，否則將會出現一些錯誤。對表達不等式性質的各不等式，要注意「箭頭」是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性。
例1：若，則下列不等關係中不能成立的是（ ）
a． b． c． d．
解：∵，∴。
由，，∴（a）成立。
由，，∴（c）成立。
由，，，∴（d）成立。
∵，，，，
，，∴（b）不成立。
故應選b。
例2：判斷下列命題是否正確，並說明理由。
（1）若，則；（2）若，則；
（3），，則；（4）若，則。
分析：解決這類問題，主要是根據不等式的性質判定，其實質就是看是否滿足性質所需要的條件。
解：（1）錯誤。當時不成立。
（2）正確。∵且，在兩邊同乘以，不等式方向不變。∴。
（3）錯誤。，成立條件是。
（4）錯誤。，，當，，，均為正數時成立。
2．不等式性質在不等式等價問題中的應用
例3：下列不等式中不等價的是（ ）
（1）與
（2）與
（3）與
（4）與
a．（2） b．（3） c．（4） d．（2）（3）
解：（1）。
（2），。
（3）且，。
（4）不等式的解均為
∴應選b。
3．利用不等式性質證明不等式
利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式。解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的八條性質並注意在解題中靈活準確地加以應用。
例4：若，，，求證：。
分析：本題考查學生對不等式性質的掌握及靈活應用。注意性質的使用條件。
解：∵，，又
∴，故。
而，∴4．利用不等式性質求範圍
利用幾個不等式的範圍來確定某個不等式的範圍是一類常見的綜合問題，對於這類問題要注意：「同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減）」，這種轉化不是等價變形，在乙個解題過程中多次使用這種轉化時，就有可能擴大真實的取值範圍，解題時務必小心謹慎，先建立待求範圍的整體與已知範圍的整體的等量關係，最後通過「一次性不等關係的運算，求得待求的範圍」，是避免犯錯誤的一條途徑。
例5：若二次函式影象關於軸對稱，且，，求的範圍。
解：設（）。
∵，，∴，，，
∴，即。
5．利用不等式性質，探求不等式成立的條件
不等式的性質是不等式的基礎，包括五個性質定理及三個推論，不等式的性質是解不等式和證明不等式的主要依據，只有正確地理解每條性質的條件和結論，注意條件的變化才能正確地加以運用，利用不等式的性質，尋求命題成立的條件是不等式性質的靈活運用。
例6：已知三個不等式：①；②；③。以其中兩個作條件，餘下乙個作結論，則可組成個正確命題。
解：對命題②作等價變形：
於是，由，，可得②成立，即①③②；
若，，則，故①②③；
若，，則，故②③①。
∴可組成3個正確命題。
例7：已知，同時成立，則應滿足的條件是
解：∵，由知，
從而，∴或。
不等式的證明
不等式的證明是高中數學的乙個難點，證明方法多種多樣，近幾年高考出現較為形式較為活躍，證明中經常需與函式、數列的知識綜合應用，靈活的掌握運用各種方法是學好這部分知識的乙個前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一枚舉。
注意的變式應用。常用(其中)來解決有關根式不等式的問題。
1、比較法
比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。
1 已知a,b,c均為正數，求證：
證明：∵a,b均為正數， ∴
同理，三式相加，可得
∴2、綜合法
綜合法是依據題設條件與基本不等式的性質等，運用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結論。
2 a、b、，，求證：
證：∴3 設、、是互不相等的正數，求證：
證∵ 同理：
∴4 知a,b,c，求證:
證明：∵
即，兩邊開平方得
同理可得三式相加，得
5且，證：。
證：6已知
策略:由於
證明：。
3、分析法
分析法的思路是「執果索因」：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件，直至已成立的不等式。
7已知、、為正數，求證：
證：要證：只需證：
即：∵ 成立∴ 原不等式成立
8.且，求證。
證：即：
∵ 即∴原命題成立
4、換元法
換元法實質上就是變數代換法，即對所證不等式的題設和結論中的字母作適當的變換，以達到化難為易的目的。
9，，，求證：。
證明：令
左 ∴
10：，求證：
證：由設，∴
∴ 11知a>b>c,求證：
證明：∵a－b>0, b－c>0, a－c>0 ∴可設a－b=x, b－c=y (x, y>0) 則a－c= x + y, 原不等式轉化為證明即證，即證 ∵∴原不等式成立（當僅x=y當「=」成立）
12知1≤x＋y≤2，求證：≤x－xy＋y≤3帶範圍的三角換元）
證明：∵1≤x＋y≤2，∴可設x = rcos，y = rsin，其中1≤r≤2，0≤＜．
∴x－xy＋y= r－rsin= r (1－sin)，∵≤1－sin≤，∴ r≤r (1－sin)≤r，而r≥， r≤3∴≤x－xy＋y≤3．
13已知x－2xy＋2y≤2，求證：| x＋y |≤．
證明：∵x－2xy＋2y= (x－y)＋y，∴可設x－y = rcos，y = rsin，其中0≤r≤，0≤＜．
∴| x＋y | =| x－y＋2y | = | rcos＋2rsin| = r|sin(＋ractan)|≤≤．
14解不等式＞
解：因為=6，故可令= sin，＝cos，∈［0，］
則原不等式化為sin－cos ＞所以sin ＞+ cos
由∈［0，］知+ cos＞0，將上式兩邊平方並整理，得48 cos2+4 cos－23＜0
解得0≤cos＜所以x＝6cos2－1＜，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x＜ .
15：－1≤－x≤．
證明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可設x = cos，其中0≤≤．
則－x =－cos= sin－cos=sin
∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．
增量代換法
在對稱式(任意互換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進行代換，代換的目的是減少變數的個數，使要證的結論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡．
16a，br，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥．
證明：∵a，br，且a＋b = 1，∴設a =＋t，b=－t， (tr)
則(a＋2)＋(b＋2) = (＋t＋2)＋(－t＋2) = (t＋)＋(t－)= 2t＋≥．
∴(a＋2)＋(b＋2)≥．
利用「1」的代換型
17策略：做「1」的代換。
證明： .
5、反證法
反證法的思路是「假設矛盾肯定」，採用反證法時，應從與結論相反的假設出發，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。
18若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求證：p＋q≤2．證明：反證法
假設p＋q＞2，則(p＋q)＞8，即p＋q＋3pq (p＋q)＞8，∵p＋q= 2，∴pq (p＋q)＞2．
故pq (p＋q)＞2 = p＋q= (p＋q)( p－pq＋q)，又p＞0，q＞0 p＋q＞0，
∴pq＞p－pq＋q，即(p－q) ＜0，矛盾．故假設p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．
19已知、、（0，1），求證：，，，不能均大於。
證明：假設，，均大於∵ ，均為正 ∴
同理 ∴
∴ 不正確 ∴ 假設不成立 ∴ 原命題正確
20已知a,b,c∈（0，1），求證：（1－a）b, （1－b）c, （1－c）a 不能同時大於。
證明：假設三式同時大於∵0＜a＜1 ∴1－a＞0 ∴
21 、、，，，，求證：、、均為正數。
證明：反證法：假設、、不均為正數又 ∵ 、、兩負一正
不妨設，， 又 ∵ ∴ 同乘以 ∴ 即，與已知矛盾
∴ 假設不成立 ∴ 、、均為正數
6、放縮法
放縮時常用的方法有：1去或加上一些項2分子或分母放大（或縮小）3用函式單調性放縮4用已知不等式放縮
22已知a、b、c、d都是正數，求證：1＜＋＋＋＜2．
證明：∵＜＜，＜＜，
＜＜，＜＜，
將上述四個同向不等式兩邊分別相加，得：1＜＋＋＋＜2．
23 ，求證：。
證明：∵
判別式法
24a、b、c為的內角，、、為任意實數，求證：。
證明：建構函式，判別式法令
為開口向上的拋物線
無論、為何值命題真
建構函式法
建構函式法證明不等式24 設0≤a、b、c≤2，求證：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
證明：視a為自變數，構造一次函式= 4a＋b＋c＋abc－2ab－2bc－2ca = (bc－2b－2c＋4)a＋(b＋c－2bc)，由0≤a≤2，知表示一條線段．又= b＋c－2bc = (b－c)≥0， = b＋c－4b－4c＋8 = (b－2)＋(c－2)≥0，
可見上述線段在橫軸及其上方，∴≥0，即4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
構造向量法證明不等式根據已知條件與欲證不等式結構，將其轉化為向量形式，利用向量數量積及不等式關係·≤||·||，就能避免複雜的湊配技巧，使解題過程簡化．應用這一方法證明一些具有和積結構的代數不等式，思路清晰，易於掌握．
25 設a、b∈r，且a＋b =1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥．
證明：構造向量= (a＋2，b＋2)， = (1，1)．設和的夾角為，其中0≤≤．
cos=··cos；
另一方面，·= (a＋2)·1＋(b＋2)·1 = a＋b＋4 = 5，而0≤|cos|≤1，
所以·≥5，從而(a＋2)＋(b＋2)≥．
構造解析幾何模型證明不等式
如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯絡，則可根據已知式的結構挖掘出它的幾何背景，通過構造解析幾何模型，化數為形，利用數學模型的直觀性，將不等式表達的抽象數量關係轉化為圖形加以解決．
不等式的證明方法
不等式性質的應用 1 不等式性質成立的條件 運用不等式的基本性質解答不等式問題，要注意不等式成立的條件，否則將會出現一些錯誤。對表達不等式性質的各不等式，要注意 箭頭 是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性。例1 若，則下列不等關係中不能成立的是 a b c d 解 由，a 成立。由，c...
不等式的證明方法
a3 b3 c3 3abc,很明顯,當且僅當a b c時取等號.例1 已知a,b,c是不全等的正數,求證 a a2 b2 b a2 c2 c a2 b2 6abc.放縮法這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性 a b,b c,則a c,只要證明 大於或等於a的 b c就行了.例,證明當...
不等式的證明方法
1 常用方法 1.1比較法 作差法 1 在比較兩個實數和的大小時，可借助的符號來判斷.步驟一般為 作差 變形 判斷 正號 負號 零 變形時常用的方法有 配方 通分 因式分解 和差化積 應用已知定理 公式等.例1 已知 求證 證明 故得1.2作商法 在證題時，一般在，均為正數時，借助或來判斷其大小，步...