一、比較法
（1）差值比較法
要證明a＞b,只要證明a-b＞0。
①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作乙個整體；
②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為乙個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為乙個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；
③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。
【例一】
求證：證明：
(2)商值比較法
已知a,b都是正數，要證明a＞b,只要證明a/b＞1
①作商：將左右兩端作商；
②變形：化簡商式到最簡形式；
③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。
應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。
【例二】
已知a,b>0，求證
證明： =
∵a,b>0+,當a＞b時，＞1,a-b＞0，＞1;
當a≤b時,≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即
2、綜合法
利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關係為：a-b1- b2- b3… bn-b，即從已知a逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論b。
重點：基本不等式
【例三】
已知a,b,c是不全等的正數，求證 a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc.
證明： ，，
，，a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc.
又因為a,b,c是不全等的正數
所以有a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc.
3、分析法
分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明a-b的邏輯關係為：b-b1-b2- b3 … bn-a，書寫的模式是：
為了證明命題b成立，只需證明命題b1為真，從而有…，這只需證明b2為真，從而又有…，……這只需證明a為真，而已知a為真，故b必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
【例四】
求證：證明:
四、反證法
有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式a>b，先假設a≤b，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定a>b。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。
【例五】
已知a，b∈r，且a+b=1. 求證：.
證明：假設，則.
由a+b=1，得，於是有.
所以，這與矛盾.
所以.5、換元法
換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明了的不等式可引入乙個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。
(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，乙個變數不易用另乙個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同乙個引數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，常用的三角代換方法有：
已知，可設；
已知，可設()；
已知，可設；
已知，可設；
(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。
【例六】
已知a，b∈r，且a+b=1. 求證：
證明：∵，
所以可設，，
∴左邊＝
＝右邊.
當且僅當t=0時，等號成立.
點評：形如a+b=1結構式的條件，一般可以採用均值換元.即可設，
六、放縮法
放縮法是要證明不等式a(1)不等式的傳遞性；
(2)等量加不等量為不等量；
(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。
常用的放縮技巧有：
①捨掉(或加進)一些項；
②在分式中放大或縮小分子或分母；
③應用均值不等式進行放縮。
【例七】
已知a，b∈r，且a+b=1. 求證：.
證明：∵
∴左邊＝＝右邊.
點評：根據欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式
除此之外，還有一些證明方法，如：判別式法、數形結合法、歸納法。。。
【判別式法的例題】
已知a，b∈r，且a+b=1. 求證：.
設y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，
所以，因為，所以，即.
故.不等式的證明關鍵還是得做題，基本不等式等結論要記住，可以直接用。我覺得你在平時做題時做完題目之後可以反思一下這一題可以用什麼方法，為什麼會用這種方法。
不等式的證明要注重方法。多做幾條題目就會有所體會的。o(∩_∩)o加油吧！！
證明不等式的幾種方法
黃啟泉04數學與應用數學1班30號 近幾年來,有關不等式的證明問題在高考 競賽中屢見不鮮，由於不等式的證明綜合性強，對學生的思維靈活性與創造性要求較高，因此，許多考生往往 望題生嘆 本人通過對該類題目認真分析與研究，總結以下幾種解題方法，下面結合一些熱點題加以簡要的介紹。1 運用重要不等式法，一些重...
不等式的證明方法
不等式性質的應用 1 不等式性質成立的條件 運用不等式的基本性質解答不等式問題，要注意不等式成立的條件，否則將會出現一些錯誤。對表達不等式性質的各不等式，要注意 箭頭 是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性。例1 若，則下列不等關係中不能成立的是 a b c d 解 由，a 成立。由，c...
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