不等式的證明是高中數學的乙個難點，證明方法多種多樣，近幾年高考出現較為形式較為活躍，證明中經常需與函式、數列的知識綜合應用，靈活的掌握運用各種方法是學好這部分知識的乙個前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一枚舉。
注意的變式應用。常用(其中)來解決有關根式不等式的問題。
一、比較法
比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。
1、已知a,b,c均為正數，求證：
證明：∵a,b均為正數， ∴
同理，三式相加，可得
∴二、綜合法
綜合法是依據題設條件與基本不等式的性質等，運用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結論。
2、a、b、，，求證：
證：∴3、設、、是互不相等的正數，求證：
證∵ 同理：
∴4、 知a,b,c，求證:
證明：∵
即，兩邊開平方得
同理可得三式相加，得
5、且，證：。
證：6、已知
策略:由於
證明：。
三、分析法
分析法的思路是「執果索因」：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件，直至已成立的不等式。
7、已知、、為正數，求證：
證：要證：只需證：
即：∵ 成立∴ 原不等式成立
8、且，求證。
證：即：
∵ 即∴原命題成立
四、換元法
換元法實質上就是變數代換法，即對所證不等式的題設和結論中的字母作適當的變換，以達到化難為易的目的。
9、，求證：。
證明：令
左 ∴
10、，求證：
證：由設，∴
∴ 11、已知a>b>c,求證：
證明：∵a－b>0, b－c>0, a－c>0 ∴可設a－b=x, b－c=y (x, y>0) 則a－c= x + y, 原不等式轉化為證明即證，即證 ∵∴原不等式成立（當僅x=y當「=」成立）
12、已知1≤x＋y≤2，求證：≤x－xy＋y≤3．
證明：∵1≤x＋y≤2，∴可設x = rcos，y = rsin，其中1≤r≤2，0≤＜．
∴x－xy＋y= r－rsin= r (1－sin)，∵≤1－sin≤，∴ r≤r (1－sin)≤r，而r≥， r≤3∴≤x－xy＋y≤3．
13、已知x－2xy＋y≤2，求證：| x＋y |≤．
證明：∵x－2xy＋y= (x－y)＋y，∴可設x－y = rcos，y = rsin，其中0≤r≤，0≤＜．
∴| x＋y | =| x－y＋2y | = | rcos＋2rsin| = r|sin(＋ractan)|≤≤．
14、解不等式＞
解：因為=6，故可令= sin，＝cos，∈［0，］
則原不等式化為sin－cos ＞所以sin ＞+ cos
由∈［0，］知+ cos＞0，將上式兩邊平方並整理，得48 cos2+4 cos－23＜0
解得0≤cos＜所以x＝6cos2－1＜，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x＜ .
15、－1≤－x≤．
證明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可設x = cos，其中0≤≤．
則－x =－cos= sin－cos=sin
∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．
五、增量代換法
16、已知a，br，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥．
證明：∵a，br，且a＋b = 1，∴設a =＋t，b=－t， (tr)
則(a＋2)＋(b＋2) = (＋t＋2)＋(－t＋2) = (t＋)＋(t－)= 2t＋≥．
∴(a＋2)＋(b＋2)≥．
六、利用「1」的代換型
17、策略：做「1」的代換。
證明： .
七、反證法
反證法的思路是「假設矛盾肯定」，採用反證法時，應從與結論相反的假設出發，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。
18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求證：p＋q≤2．證明：反證法
假設p＋q＞2，則(p＋q)＞8，即p＋q＋**q (p＋q)＞8，∵p＋q= 2，∴pq (p＋q)＞2．
故pq (p＋q)＞2 = p＋q= (p＋q)( p－pq＋q)，又p＞0，q＞0 p＋q＞0，
∴pq＞p－pq＋q，即(p－q) ＜0，矛盾．故假設p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．
19、已知、、（0，1），求證：，，，不能均大於。
證明：假設，，均大於∵ ，均為正 ∴
同理 ∴
∴ 不正確 ∴ 假設不成立 ∴ 原命題正確
20、已知a,b,c∈（0，1），求證：（1－a）b, （1－b）c, （1－c）a 不能同時大於。
證明：假設三式同時大於∵0＜a＜1 ∴1－a＞0 ∴
21、、、，，，，求證：、、均為正數。
證明：反證法：假設、、不均為正數又 ∵ 、、兩負一正
不妨設，， 又 ∵ ∴ 同乘以 ∴ 即，與已知矛盾
∴ 假設不成立 ∴ 、、均為正數
八、放縮法
放縮時常用的方法有：1去或加上一些項2分子或分母放大（或縮小）3用函式單調性放縮4用已知不等式放縮
22、已知a、b、c、d都是正數，求證：1＜＋＋＋＜2．
證明：∵＜＜，＜＜，
＜＜，＜＜，
將上述四個同向不等式兩邊分別相加，得：1＜＋＋＋＜2．
23、，求證：。
證明：∵
判別式法
24、a、b、c為的內角，、、為任意實數，求證：。
證明：建構函式，判別式法令
為開口向上的拋物線
無論、為何值命題真
九、建構函式法
建構函式法證明不等式24 設0≤a、b、c≤2，求證：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
證明：視a為自變數，構造一次函式= 4a＋b＋c＋abc－2ab－2bc－2ca = (bc－2b－2c＋4)a＋(b＋c－2bc)，由0≤a≤2，知表示一條線段．又= b＋c－2bc = (b－c)≥0， = b＋c－4b－4c＋8 = (b－2)＋(c－2)≥0，
可見上述線段在橫軸及其上方，∴≥0，即4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
構造向量法證明不等式根據已知條件與欲證不等式結構，將其轉化為向量形式，利用向量數量積及不等式關係·≤||·||，就能避免複雜的湊配技巧，使解題過程簡化．應用這一方法證明一些具有和積結構的代數不等式，思路清晰，易於掌握．
25、 設a、b∈r，且a＋b =1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥．
證明：構造向量= (a＋2，b＋2)， = (1，1)．設和的夾角為，其中0≤≤．
cos=··cos；
另一方面，·= (a＋2)·1＋(b＋2)·1 = a＋b＋4 = 5，而0≤|cos|≤1，
所以·≥5，從而(a＋2)＋(b＋2)≥．
構造解析幾何模型證明不等式
如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯絡，則可根據已知式的結構挖掘出它的幾何背景，通過構造解析幾何模型，化數為形，利用數學模型的直觀性，將不等式表達的抽象數量關係轉化為圖形加以解決．
26、設a＞0，b＞0，a＋b = 1，求證：＋≤2．
證明：所證不等式變形為：≤2．這可認為是點a()到直線 x＋y = 0的距離．
但因()＋()= 4，故點a在圓x＋y= 4 (x＞0，y＞0)上．如圖所示，ad⊥bc，半徑ao＞ad，即有：≤2，所以＋≤2．
1．實數絕對值的定義:
|a|= 這是去掉絕對值符號的依據，是解含絕對值符號的不等式的基礎。
2．最簡單的含絕對值符號的不等式的解。
若a>0時，則 |x|a x<-a或x>a。
注:這裡利用實數絕對值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數軸上的動點p(x)到原點的距離。
3．常用的同解變形
|f(x)|g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；
|f(x)|<|g(x)| f2(x) 4．三角形不等式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 不等式性質的應用 1 不等式性質成立的條件 運用不等式的基本性質解答不等式問題，要注意不等式成立的條件，否則將會出現一些錯誤。對表達不等式性質的各不等式，要注意 箭頭 是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性。例1 若，則下列不等關係中不能成立的是 a b c d 解 由，a 成立。由，c... 不等式性質的應用 1 不等式性質成立的條件 運用不等式的基本性質解答不等式問題，要注意不等式成立的條件，否則將會出現一些錯誤。對表達不等式性質的各不等式，要注意 箭頭 是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性。例1 若，則下列不等關係中不能成立的是 a b c d 解 由，a 成立。由，c... a3 b3 c3 3abc,很明顯,當且僅當a b c時取等號.例1 已知a,b,c是不全等的正數,求證 a a2 b2 b a2 c2 c a2 b2 6abc.放縮法這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性 a b,b c,則a c,只要證明 大於或等於a的 b c就行了.例,證明當...不等式的證明方法
不等式的證明方法
不等式的證明方法