關於三角形內角和是180度幾種驗證方法的思考

我們從最壞處考慮，對課堂中可能出現的種種情況進行了預設：

新課伊始，學生猜想「三角形內角和是180度」，教師將猜想板書在黑板上追問：三角形內角和真的是180度嗎？說說你的依據。

１．「測量求和法」的引出：採用「一點突破」，緊扣「內角和」逐步逼近。

先用紅筆圈出課題「三角形內角和是180度」中的「內角和」（停頓，看看老師的暗示能不能個學生啟發）。

如果學生還是想不到，接著啟發「課題中「內角和」是什麼意思？」

如果學生還想不到方法，繼續提問：要知道三個內角「度數」的和，要用到什麼工具？怎麼辦？

2．「剪拼法」的匯出：採用「說半句留半句」的策略，將「180度」與「平角」鏈結起來。

先用紅筆圈出「180度」並提問：我們前面學過180度的角又叫做——（輕輕地、緩緩地、比學生慢半拍）：「平角」。

接著：判斷三角形的內角和是不是180度，就可以將三角形三個內角——（等待，學生能說讓學生說，學生不能說教師手勢在前，語言在後）放在一起，看它們能不能拼成（再等待）——平角。

3．至於「折拼法」——讓學生自學教材，邊看邊操作就行了。

三、幾種常見方法呈現的「序」

驗證三角形內角和是180度，常見的有三種方法：

一、用量角器分別量出三個角的度數，然後加起來；

二、將三個角撕下來平成乙個平角；

三、將三個角摺起來拼成乙個平角。對於這三種方法的呈現，老師們基本都是從學生較易理解的「用量角器量角求和」入手，然後再研究「撕」、「折」等拼角的方法。

對這樣的安排，我認為有些不符合邏輯——因為在交流「量」這種驗證方法時，不管老師怎樣解釋，實際量得的結果總是實實在在地影響著「用拼角的方法驗證三角形內角和是180度」的可信度——理由很簡單：工具測量有誤差，粗略的「拼湊」誤差更大。

「誤差」這是乙個「剪不斷，理更亂」的話題，教學時我們不妨採用「迴避」的策略：

首先，將學生提出的各種驗證方法一一枚舉在黑板上；

然後在集中交流時，先討論「撕」或「折」的方法，讓學生體驗、確認「三角形內角和是180度」；

最後，與學生一起交流「用量角器測量驗證」的方法並討論：為什麼測量算得的三個角的度數加起來不是180度呢？

這樣讓學生在正向確認，反向解釋，不但避免了誤差干擾，而且強化了「三角形內角和定理」。

四、幾種不常見方法的介紹

（一）三角形內角和定理的發現

事先告知了「三角形內角和是180°」，我們可以緊扣180度進行驗證。事先沒告訴我們「三角形內角和是180°」怎麼會將「三角形內角和」與「180°」聯絡起來呢？

據說，帕斯卡首先是在無意中發現了「直角三角形的內角和是180°的」。他將矩形沿對角線剪開，發現「任意矩形都能分成兩個完全相同的直角三角形」，他想「如果改變矩形長和寬不就可以得到任意直角三角形嗎？」因為矩形的四個角都是直角，所以矩形的內角和等於360°。

又因為「分成的直角三角形的內角和正好是矩形內角和的一半」，所以「直角三角形內角和為180°」（見圖３）。

接著帕斯卡又發現「任何三角形都可以分成兩個直角三角形」，這兩個直角三角形去掉兩個直角，剩下的就得到原三角形的內角和為180°（見圖４）。

圖3圖4圖5

（二）三角形內角和定理的證明

證明「三角形內角和是180°」，常用方法是「作一條平行線，然後利用用「兩直線平行，內錯角和同位角相等進行證明」（見圖５）。

（三）三角形內角和定理的直觀證明

其實無論是「量」還是「撕」、「折」，都存在著誤差。若能找到一種直觀的、沒有誤差的、學生能理解的方法，這對學生底氣十足、口服心服地接收「三角形內角和是180°」至關重要。

經過對蒐集的大量資料的比較、試驗，我特向大家推薦將下面這種驗證方法——先將鉛筆筆尖朝右與邊ａｂ邊重合，然後依次按照三角形的三個內角——角a、角c、角b的大小旋轉鉛筆，三個角都轉過後，鉛筆筆尖正好調轉了方向，由向右變成向左。鉛筆一共旋轉了1800，所以三角形內角和是１８０度。