勾股定理的證明
【證法1】
做8個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到,這兩個正方形的邊長都是a + b,所以面積相等. 即
, 整理得 .
【證法2】(鄒元治證明)
以a、b 為直角邊,以c為斜邊做四個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等於. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀,使a、e、b三點在一條直線上,b、f、c三點在一條直線上,c、g、d三點在一條直線上.
∵ rtδhae ≌ rtδebf,
∴ ∠ahe = ∠bef.
∵ ∠aeh + ∠ahe = 90,
∴ ∠aeh + ∠bef = 90.
∴ ∠hef = 180―90= 90.
∴ 四邊形efgh是乙個邊長為c的
正方形. 它的面積等於c2.
∵ rtδgdh ≌ rtδhae,
∴ ∠hgd = ∠eha.
∵ ∠hgd + ∠ghd = 90,
∴ ∠eha + ∠ghd = 90.
又∵ ∠ghe = 90,
∴ ∠dha = 90+ 90= 180.
∴ abcd是乙個邊長為a + b的正方形,它的面積等於.
【證法3】(趙爽證明)
以a、b 為直角邊(b>a), 以c為斜
邊作四個全等的直角三角形,則每個直角
三角形的面積等於. 把這四個直角三
角形拼成如圖所示形狀.
∵ rtδdah ≌ rtδabe,
∴ ∠hda = ∠eab.
∵ ∠had + ∠had = 90,
∴ ∠eab + ∠had = 90,
∴ abcd是乙個邊長為c的正方形,它的面積等於c2.
∵ ef = fg =gh =he = b―a ,
∠hef = 90.
∴ efgh是乙個邊長為b―a的正方形,它的面積等於.
∴ .∴ .
【證法4】(2023年美國**garfield證明)
以a、b 為直角邊,以c為斜邊作兩個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等於. 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀,使a、e、b三點在一條直線上.
∵ rtδead ≌ rtδcbe,
∴ ∠ade = ∠bec.
∵ ∠aed + ∠ade = 90,
∴ ∠aed + ∠bec = 90.
∴ ∠dec = 180―90= 90.
∴ δdec是乙個等腰直角三角形,
它的面積等於.
又∵ ∠dae = 90, ∠ebc = 90,
∴ ad∥bc.
∴ abcd是乙個直角梯形,它的面積等於.
∴ .∴ .
【證法5】(梅文鼎證明)
做四個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b ,斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的乙個多邊形,使d、e、f在一條直線上. 過c作ac的延長線交df於點p.
∵ d、e、f在一條直線上, 且rtδgef ≌ rtδebd,
∴ ∠egf = ∠bed,
∵ ∠egf + ∠gef = 90°,
∴ ∠bed + ∠gef = 90°,
∴ ∠beg =180―90= 90.
又∵ ab = be = eg = ga = c,
∴ abeg是乙個邊長為c的正方形.
∴ ∠abc + ∠cbe = 90.
∵ rtδabc ≌ rtδebd,
∴ ∠abc = ∠ebd.
∴ ∠ebd + ∠cbe = 90.
即 ∠cbd= 90.
又∵ ∠bde = 90,∠bcp = 90,
bc = bd = a.
∴ bdpc是乙個邊長為a的正方形.
同理,hpfg是乙個邊長為b的正方形.
設多邊形ghcbe的面積為s,則
, ∴ .
【證法6】(項明達證明)
做兩個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a) ,斜邊長為c. 再做乙個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形,使e、a、c三點在一條直線上.
過點q作qp∥bc,交ac於點p.
過點b作bm⊥pq,垂足為m;再過點
f作fn⊥pq,垂足為n.
∵ ∠bca = 90,qp∥bc,
∴ ∠mpc = 90,
∵ bm⊥pq,
∴ ∠bmp = 90,
∴ bcpm是乙個矩形,即∠mbc = 90.
∵ ∠qbm + ∠mba = ∠qba = 90,
∠abc + ∠mba = ∠mbc = 90,
∴ ∠qbm = ∠abc,
又∵ ∠bmp = 90,∠bca = 90,bq = ba = c,
∴ rtδbmq ≌ rtδbca.
同理可證rtδqnf ≌ rtδaef.
從而將問題轉化為【證法4】(梅文鼎證明).
【證法7】(歐幾里得證明)
做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,使h、c、b三點在一條直線上,鏈結
bf、cd. 過c作cl⊥de,
交ab於點m,交de於點
l. ∵ af = ac,ab = ad,
∠fab = ∠gad,
∴ δfab ≌ δgad,
∵ δfab的面積等於,
δgad的面積等於矩形adlm
的面積的一半,
∴ 矩形adlm的面積 =.
同理可證,矩形mleb的面積 =.
∵ 正方形adeb的面積
= 矩形adlm的面積 + 矩形mleb的面積
∴ ,即 .
【證法8】(利用相似三角形性質證明)
【證法9】(楊作玫證明)
做兩個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a),斜邊長為c. 再做乙個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.
過a作af⊥ac,af交gt於f,af交dt於r. 過b作bp⊥af,垂足為p. 過d作de與cb的延長線垂直,垂足為e,de交af於h.
∵ ∠bad = 90,∠pac = 90,
∴ ∠dah = ∠bac.
又∵ ∠dha = 90,∠bca = 90,
ad = ab = c,
∴ rtδdha ≌ rtδbca.
∴ dh = bc = a,ah = ac = b.
由作法可知, pbca 是乙個矩形,
所以 rtδapb ≌ rtδbca. 即pb =
ca = b,ap= a,從而ph = b―a.
∵ rtδdgt ≌ rtδbca ,
rtδdha ≌ rtδbca.
∴ rtδdgt ≌ rtδdha .
∴ dh = dg = a,∠gdt = ∠hda .
又∵ ∠dgt = 90,∠dhf = 90,
∠gdh = ∠gdt + ∠tdh = ∠hda+ ∠tdh = 90,
∴ dgfh是乙個邊長為a的正方形.
∴ gf = fh = a . tf⊥af,tf = gt―gf = b―a .
∴ tfpb是乙個直角梯形,上底tf=b―a,下底bp= b,高fp=a +(b―a).
用數字表示面積的編號(如圖),則以c為邊長的正方形的面積為
∵ = ,
,把②代入①,得
= = .
∴ .
【證法10】(李銳證明)
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b(b>a),斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,使a、e、g三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號(如圖).
∵ ∠tbe = ∠abh = 90,
∴ ∠tbh = ∠abe.
又∵ ∠bth = ∠bea = 90,
bt = be = b,
∴ rtδhbt ≌ rtδabe.
∴ ht = ae = a.
∴ gh = gt―ht = b―a.
又∵ ∠ghf + ∠bht = 90,
∠dbc + ∠bht = ∠tbh + ∠bht = 90,
∴ ∠ghf = ∠dbc.
∵ db = eb―ed = b―a,
∠hgf = ∠bdc = 90,
∴ rtδhgf ≌ rtδbdc. 即 .
過q作qm⊥ag,垂足是m. 由∠baq = ∠bea = 90,可知 ∠abe
= ∠qam,而ab = aq = c,所以rtδabe ≌ rtδqam . 又rtδhbt ≌
rtδabe. 所以rtδhbt ≌ rtδqam . 即 .
由rtδabe ≌ rtδqam,又得qm = ae = a,∠aqm = ∠bae.
∵ ∠aqm + ∠fqm = 90,∠bae + ∠car = 90,∠aqm = ∠bae,
∴ ∠fqm = ∠car.
又∵ ∠qmf = ∠arc = 90,qm = ar = a,
∴ rtδqmf ≌ rtδarc. 即.
∵ ,,,
又∵ ,,,∴ =
=,即 .
【證法11】(利用切割線定理證明)
【證法12】(利用多列公尺定理證明)
【證法13】(作直角三角形的內切圓證明)
【證法14】(利用反證法證明)
【證法15】(辛卜松證明)
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b,斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形abcd. 把正方形abcd劃分成上方左圖所示的幾個部分,則正方形abcd的面積為 ;把正方形abcd劃分成上方右圖所示的幾個部分,則正方形abcd的面積為 =.
∴ ,∴ .
【證法16】(陳傑證明)
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b(b>a),斜邊的長為c. 做兩個邊長分別為a、b的正方形(b>a),把它們拼成如圖所示形狀,使e、h、m三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號(如圖).
在eh = b上擷取ed = a,鏈結da、dc,
則 ad = c.
∵ em = eh + hm = b + a , ed = a,
∴ dm = em―ed = ―a = b.
又∵ ∠cmd = 90,cm = a,
∠aed = 90, ae = b,
∴ rtδaed ≌ rtδdmc.
∴ ∠ead = ∠mdc,dc = ad = c.
∵ ∠ade + ∠adc+ ∠mdc =180,
∠ade + ∠mdc = ∠ade + ∠ead = 90,
∴ ∠adc = 90.
∴ 作ab∥dc,cb∥da,則abcd是乙個邊長為c的正方形.
勾股定理16種經典證明方法
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