勾股定理的證明
【證法1】（課本的證明）
做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即
， 整理得 .
【證法2】（鄒元治證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上，b、f、c三點在一條直線上，c、g、d三點在一條直線上.
∵ rtδhae ≌ rtδebf,
∴ ∠ahe = ∠bef.
∵ ∠aeh + ∠ahe = 90,
∴ ∠aeh + ∠bef = 90.
∴ ∠hef = 180―90= 90.
∴ 四邊形efgh是乙個邊長為c的
正方形. 它的面積等於c2.
∵ rtδgdh ≌ rtδhae,
∴ ∠hgd = ∠eha.
∵ ∠hgd + ∠ghd = 90,
∴ ∠eha + ∠ghd = 90.
又∵ ∠ghe = 90,
∴ ∠dha = 90+ 90= 180.
∴ abcd是乙個邊長為a + b的正方形，它的面積等於.
【證法3】（趙爽證明）
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜
邊作四個全等的直角三角形，則每個直角
三角形的面積等於. 把這四個直角三
角形拼成如圖所示形狀.
∵ rtδdah ≌ rtδabe,
∴ ∠hda = ∠eab.
∵ ∠had + ∠had = 90，
∴ ∠eab + ∠had = 90，
∴ abcd是乙個邊長為c的正方形，它的面積等於c2.
∵ ef = fg =gh =he = b―a ,
∠hef = 90.
∴ efgh是乙個邊長為b―a的正方形，它的面積等於.
∴ .∴ .
【證法4】（2023年美國**garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於. 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上.
∵ rtδead ≌ rtδcbe,
∴ ∠ade = ∠bec.
∵ ∠aed + ∠ade = 90,
∴ ∠aed + ∠bec = 90.
∴ ∠dec = 180―90= 90.
∴ δdec是乙個等腰直角三角形，
它的面積等於.
又∵ ∠dae = 90, ∠ebc = 90,
∴ ad∥bc.
∴ abcd是乙個直角梯形，它的面積等於.
∴ .∴ .
【證法5】（梅文鼎證明）
做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的乙個多邊形，使d、e、f在一條直線上. 過c作ac的延長線交df於點p.
∵ d、e、f在一條直線上, 且rtδgef ≌ rtδebd,
∴ ∠egf = ∠bed，
∵ ∠egf + ∠gef = 90°，
∴ ∠bed + ∠gef = 90°，
∴ ∠beg =180―90= 90.
又∵ ab = be = eg = ga = c，
∴ abeg是乙個邊長為c的正方形.
∴ ∠abc + ∠cbe = 90.
∵ rtδabc ≌ rtδebd,
∴ ∠abc = ∠ebd.
∴ ∠ebd + ∠cbe = 90.
即 ∠cbd= 90.
又∵ ∠bde = 90，∠bcp = 90，
bc = bd = a.
∴ bdpc是乙個邊長為a的正方形.
同理，hpfg是乙個邊長為b的正方形.
設多邊形ghcbe的面積為s，則
, ∴ .
【證法6】（項明達證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做乙個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使e、a、c三點在一條直線上.
過點q作qp∥bc，交ac於點p.
過點b作bm⊥pq，垂足為m；再過點
f作fn⊥pq，垂足為n.
∵ ∠bca = 90，qp∥bc，
∴ ∠mpc = 90，
∵ bm⊥pq，
∴ ∠bmp = 90，
∴ bcpm是乙個矩形，即∠mbc = 90.
∵ ∠qbm + ∠mba = ∠qba = 90，
∠abc + ∠mba = ∠mbc = 90，
∴ ∠qbm = ∠abc，
又∵ ∠bmp = 90，∠bca = 90，bq = ba = c，
∴ rtδbmq ≌ rtδbca.
同理可證rtδqnf ≌ rtδaef.
從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）.
【證法7】（歐幾里得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點在一條直線上，鏈結
bf、cd. 過c作cl⊥de，
交ab於點m，交de於點
l. ∵ af = ac，ab = ad，
∠fab = ∠gad，
∴ δfab ≌ δgad，
∵ δfab的面積等於，
δgad的面積等於矩形adlm
的面積的一半，
∴ 矩形adlm的面積 =.
同理可證，矩形mleb的面積 =.
∵ 正方形adeb的面積
= 矩形adlm的面積 + 矩形mleb的面積
∴ ，即 .
【證法8】（利用相似三角形性質證明）
如圖，在rtδabc中，設直角邊ac、bc的長度分別為a、b，斜邊ab的長為c，過點c作cd⊥ab，垂足是d.
在δadc和δacb中，
∵ ∠adc = ∠acb = 90，
∠cad = ∠bac，
∴ δadc ∽ δacb.
ad∶ac = ac ∶ab，
即 .
同理可證，δcdb ∽ δacb，從而有 .
∴ ，即 .
【證法9】（楊作玫證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做乙個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.
過a作af⊥ac，af交gt於f，af交dt於r. 過b作bp⊥af，垂足為p. 過d作de與cb的延長線垂直，垂足為e，de交af於h.
∵ ∠bad = 90，∠pac = 90，
∴ ∠dah = ∠bac.
又∵ ∠dha = 90，∠bca = 90，
ad = ab = c，
∴ rtδdha ≌ rtδbca.
∴ dh = bc = a，ah = ac = b.
由作法可知， pbca 是乙個矩形，
所以 rtδapb ≌ rtδbca. 即pb =
ca = b，ap= a，從而ph = b―a.
∵ rtδdgt ≌ rtδbca ,
rtδdha ≌ rtδbca.
∴ rtδdgt ≌ rtδdha .
∴ dh = dg = a，∠gdt = ∠hda .
又∵ ∠dgt = 90，∠dhf = 90，
∠gdh = ∠gdt + ∠tdh = ∠hda+ ∠tdh = 90，
∴ dgfh是乙個邊長為a的正方形.
∴ gf = fh = a . tf⊥af，tf = gt―gf = b―a .
∴ tfpb是乙個直角梯形，上底tf=b―a，下底bp= b，高fp=a +（b―a）.
用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為
∵ = ，
，把②代入①，得
= = .
∴ .
【證法10】（李銳證明）
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使a、e、g三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）.
∵ ∠tbe = ∠abh = 90，
∴ ∠tbh = ∠abe.
又∵ ∠bth = ∠bea = 90，
bt = be = b，
∴ rtδhbt ≌ rtδabe.
∴ ht = ae = a.
∴ gh = gt―ht = b―a.
又∵ ∠ghf + ∠bht = 90，
∠dbc + ∠bht = ∠tbh + ∠bht = 90，
∴ ∠ghf = ∠dbc.
∵ db = eb―ed = b―a，
∠hgf = ∠bdc = 90，
∴ rtδhgf ≌ rtδbdc. 即 .
過q作qm⊥ag，垂足是m. 由∠baq = ∠bea = 90，可知 ∠abe
= ∠qam，而ab = aq = c，所以rtδabe ≌ rtδqam . 又rtδhbt ≌
rtδabe. 所以rtδhbt ≌ rtδqam . 即 .
由rtδabe ≌ rtδqam，又得qm = ae = a，∠aqm = ∠bae.
∵ ∠aqm + ∠fqm = 90，∠bae + ∠car = 90，∠aqm = ∠bae，
∴ ∠fqm = ∠car.
又∵ ∠qmf = ∠arc = 90，qm = ar = a，
∴ rtδqmf ≌ rtδarc. 即.
∵ ，，，
又∵ ，，，∴ =
=，即 .
【證法11】（利用切割線定理證明）
在rtδabc中，設直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c. 如圖，以b為圓心a為半徑作圓，交ab及ab的延長線分別於d、e，則bd = be = bc = a. 因為∠bca = 90，點c在⊙b上，所以ac是⊙b 的切線.
由切割線定理，得==
= ，即，
∴ .【證法12】（利用多列公尺定理證明）
在rtδabc中，設直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c（如圖）. 過點a作ad∥cb，過點b作bd∥ca，則acbd為矩形，矩形acbd內接於乙個圓. 根據多列公尺定理，圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和，有
，∵ ab = dc = c，ad = bc = a，
ac = bd = b，
∴ ，即 ，
∴ .【證法13】（作直角三角形的內切圓證明）
在rtδabc中，設直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c. 作rtδabc的內切圓⊙o，切點分別為d、e、f（如圖），設⊙o的半徑為r.
勾股定理16種經典證明方法
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