【證法1】（課本的證明）
做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即
， 整理得 .
【證法2】（鄒元治證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上，b、f、c三點在一條直線上，c、g、d三點在一條直線上.
∵ rtδhae ≌ rtδebf,
∴ ∠ahe = ∠bef.
∵ ∠aeh + ∠ahe = 90,
∴ ∠aeh + ∠bef = 90.
∴ ∠hef = 180―90= 90.
∴ 四邊形efgh是乙個邊長為c的
正方形. 它的面積等於c2.
∵ rtδgdh ≌ rtδhae,
∴ ∠hgd = ∠eha.
∵ ∠hgd + ∠ghd = 90,
∴ ∠eha + ∠ghd = 90.
又∵ ∠ghe = 90,
∴ ∠dha = 90+ 90= 180.
∴ abcd是乙個邊長為a + b的正方形，它的面積等於.
【證法3】（趙爽證明）
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜
邊作四個全等的直角三角形，則每個直角
三角形的面積等於. 把這四個直角三
角形拼成如圖所示形狀.
∵ rtδdah ≌ rtδabe,
∴ ∠hda = ∠eab.
∵ ∠had + ∠had = 90，
∴ ∠eab + ∠had = 90，
∴ abcd是乙個邊長為c的正方形，它的面積等於c2.
∵ ef = fg =gh =he = b―a ,
∠hef = 90.
∴ efgh是乙個邊長為b―a的正方形，它的面積等於.
∴ .∴ .
【證法4】（2023年美國**garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於. 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上.
∵ rtδead ≌ rtδcbe,
∴ ∠ade = ∠bec.
∵ ∠aed + ∠ade = 90,
∴ ∠aed + ∠bec = 90.
∴ ∠dec = 180―90= 90.
∴ δdec是乙個等腰直角三角形，
它的面積等於.
又∵ ∠dae = 90, ∠ebc = 90,
∴ ad∥bc.
∴ abcd是乙個直角梯形，它的面積等於.
∴ .∴ .
【證法5】（梅文鼎證明）
做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的乙個多邊形，使d、e、f在一條直線上. 過c作ac的延長線交df於點p.
∵ d、e、f在一條直線上, 且rtδgef ≌ rtδebd,
∴ ∠egf = ∠bed，
∵ ∠egf + ∠gef = 90°，
∴ ∠bed + ∠gef = 90°，
∴ ∠beg =180―90= 90.
又∵ ab = be = eg = ga = c，
∴ abeg是乙個邊長為c的正方形.
∴ ∠abc + ∠cbe = 90.
∵ rtδabc ≌ rtδebd,
∴ ∠abc = ∠ebd.
∴ ∠ebd + ∠cbe = 90.
即 ∠cbd= 90.
又∵ ∠bde = 90，∠bcp = 90，
bc = bd = a.
∴ bdpc是乙個邊長為a的正方形.
同理，hpfg是乙個邊長為b的正方形.
設多邊形ghcbe的面積為s，則
, ∴ .
【證法6】（歐幾里得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點在一條直線上，鏈結
bf、cd. 過c作cl⊥de，
交ab於點m，交de於點
l. ∵ af = ac，ab = ad，
∠fab = ∠gad，
∴ δfab ≌ δgad，
∵ δfab的面積等於，
δgad的面積等於矩形adlm
的面積的一半，
∴ 矩形adlm的面積 =.
同理可證，矩形mleb的面積 =.
∵ 正方形adeb的面積
= 矩形adlm的面積 + 矩形mleb的面積
∴ ，即 .
勾股定理的證明方法
緒論勾股定理是世界上應用最廣泛,歷史最悠久,研究最深入的定理之一,是數學 幾何中的重要且基本的工具。而數千年來，許多民族 許多個人對於這個定理之證明數不勝數，達三百餘種。可見，勾股定理是人類利用代數思想 數學思想解決幾何問題 生活實際問題的共同智慧型之結晶，也是公理化證明體系的開端。第一節勾股定理的...
勾股定理的證明方法
勾股定理是初等幾何中的乙個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至於古往今來，下至平民百姓，上至帝王 都願意 和研究它的證明 下面結合幾種圖形來進行證明。一 傳說中畢達哥拉斯的證法 圖1 左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和...
勾股定理的圖形證明方法
方法一 將四個全等的直角三角形拼成如圖 1 所示的正方形。圖 1 中，所以。方法二 將四個全等的直角三角形拼成如圖 2 所示的正方形。圖 2 中，所以。方法三 將四個全等的直角三角形分別拼成如圖 3 1和 3 2所示的兩個形狀相同的正方形。在 3 1中，甲的面積 大正方形面積 4個直角三角形面積 在...