【證法1】（課本的證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上，b、f、c三點在一條直線上，c、g、d三點在一條直線上.
∵ rtδhae ≌ rtδebf,
∴ ∠ahe = ∠bef.
∵ ∠aeh + ∠ahe = 90,
∴ ∠aeh + ∠bef = 90.
∴ ∠hef = 180―90= 90.
∴ 四邊形efgh是乙個邊長為c的
正方形. 它的面積等於c2.
∵ rtδgdh ≌ rtδhae,
∴ ∠hgd = ∠eha.
∵ ∠hgd + ∠ghd = 90,
∴ ∠eha + ∠ghd = 90.
又∵ ∠ghe = 90,
∴ ∠dha = 90+ 90= 180.
∴ abcd是乙個邊長為a + b的正方形，它的面積等於.
【證法2】（趙爽證明）
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜
邊作四個全等的直角三角形，則每個直角
三角形的面積等於. 把這四個直角三
角形拼成如圖所示形狀.
∵ rtδdah ≌ rtδabe,
∴ ∠hda = ∠eab.
∵ ∠had + ∠had = 90，
∴ ∠eab + ∠had = 90，
∴ abcd是乙個邊長為c的正方形，它的面積等於c2.
∵ ef = fg =gh =he = b―a ,
∠hef = 90.
∴ efgh是乙個邊長為b―a的正方形，它的面積等於.
∴ .∴ .
【證法3】（2023年美國**garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於. 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上.
∵ rtδead ≌ rtδcbe,
∴ ∠ade = ∠bec.
∵ ∠aed + ∠ade = 90,
∴ ∠aed + ∠bec = 90.
∴ ∠dec = 180―90= 90.
∴ δdec是乙個等腰直角三角形，
它的面積等於.
又∵ ∠dae = 90, ∠ebc = 90,
∴ ad∥bc.
∴ abcd是乙個直角梯形，它的面積等於.
∴ .∴ .
【證法4】（歐幾里得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點在一條直線上，鏈結
bf、cd. 過c作cl⊥de，
交ab於點m，交de於點
l. ∵ af = ac，ab = ad，
∠fab = ∠gad，
∴ δfab ≌ δgad，
∵ δfab的面積等於，
δgad的面積等於矩形adlm
的面積的一半，
∴ 矩形adlm的面積 =.
同理可證，矩形mleb的面積 =.
∵ 正方形adeb的面積
= 矩形adlm的面積 + 矩形mleb的面積
∴ ，即 .
【證法14】（利用反證法證明）
如圖，在rtδabc中，設直角邊ac、bc的長度分別為a、b，斜邊ab的長為c，過點c作cd⊥ab，垂足是d.
假設，即假設 ，則由
==可知 ，或者 . 即 ad：ac≠ac：ab，或者 bd：bc≠bc：ab.
在δadc和δacb中，
∵ ∠a = ∠a，
∴ 若 ad：ac≠ac：ab，則
∠adc≠∠acb.
在δcdb和δacb中，
∵ ∠b = ∠b，
∴ 若bd：bc≠bc：ab，則
∠cdb≠∠acb.
又∵ ∠acb = 90，
∴ ∠adc≠90，∠cdb≠90.
這與作法cd⊥ab矛盾. 所以，的假設不能成立.
∴ .【證法15】（辛卜松證明）
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形abcd. 把正方形abcd劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形abcd的面積為 ；把正方形abcd劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形abcd的面積為 =.
∴ ,
∴ .
【證法16】（陳傑證明）
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使e、h、m三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）.
在eh = b上擷取ed = a，鏈結da、dc，
則 ad = c.
∵ em = eh + hm = b + a , ed = a，
∴ dm = em―ed = ―a = b.
又∵ ∠cmd = 90，cm = a，
∠aed = 90， ae = b，
∴ rtδaed ≌ rtδdmc.
∴ ∠ead = ∠mdc，dc = ad = c.
∵ ∠ade + ∠adc+ ∠mdc =180，
∠ade + ∠mdc = ∠ade + ∠ead = 90，
∴ ∠adc = 90.
∴ 作ab∥dc，cb∥da，則abcd是乙個邊長為c的正方形.
∵ ∠baf + ∠fad = ∠dae + ∠fad = 90，
∴ ∠baf=∠dae.
鏈結fb，在δabf和δade中，
∵ ab =ad = c，ae = af = b，∠baf=∠dae，
∴ δabf ≌ δade.
∴ ∠afb = ∠aed = 90，bf = de = a.
∴ 點b、f、g、h在一條直線上.
在rtδabf和rtδbcg中，
∵ ab = bc = c，bf = cg = a，
∴ rtδabf ≌ rtδbcg.
，∴ ==
=∴ .
勾股定理的證明
證法1 課本的證明 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a b c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a b，所以面積相等.即 整理得 證法2 鄒元治證明 以a b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三...
勾股定理的證明
廣西桂平市大洋中學覃祖海 勾股定理是初等幾何中的乙個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至於古往今來，下至平民百姓，上至帝王 都願意 和研究它的證明 下面結合幾種圖形來進行證明。一 傳說中畢達哥拉斯的證法 圖1 左邊的正方...
勾股定理的證明
勾股定理的證明 教學案例 活動目的採用問題探索教學模式，以問題為中心，在 解決問題的過程中，通過讓學生自己去實驗 觀察 比較 歸納，鼓勵學生大膽的提出猜想，再讓學生對猜想給出證明，發現勾股定理，並運用勾股定理去解決實際問題 可以延伸到課外進行 二 活動形式 與發現.發現法是研究性學習的核心，它主要著...