勾股定理的證明

《勾股定理的證明》教學案例

、活動目的採用問題探索教學模式，以問題為中心，在**解決問題的過程中，通過讓學生自己去實驗、觀察、比較、歸納，鼓勵學生大膽的提出猜想，再讓學生對猜想給出證明，發現勾股定理，並運用勾股定理去解決實際問題（可以延伸到課外進行）.

二、活動形式**與發現.**發現法是研究性學習的核心，它主要著力於學生的學，鼓勵學生以類似科學研究的模式，進行主動探索，對數學中的性質、法則、公式盡可能地實行「再創造」，在充分肯定學生是學習主體的前提下，把數學教學作為一種活動過程來進行，在教學中，自始至終讓學生有自由活動機會，使他們處於積極創新的狀態，有進行創新的慾望，培養學生的創新能力.讓學生盡可能地像歷史上數學家經歷的創造過程一樣，觀察、實驗、用直覺或推理（如合情推理）提出猜想（性質、法則、公式），再加以證明，得到類似於教科書的數學知識.

**發現法強調「做數學」，通過學生「做」的主動**過程來培養他們的創新意識、動手能力和解決問題的能力.

三、學具每生一套學具，內有直角邊為a、b，斜邊為c的直角三角形紙片8張，邊長分別為a、b、c的正方形紙片各1張.

四、活動過程

1、創設情境，激發興趣從夏夜觀星自然產生是否

存在「外星人」的疑問，說到「旅行者2號」太空探測器

上攜帶著人類跟「外星人」勾通的一張與直角三角形有關

的圖畫，激起學生**這幅圖畫（圖1）秘密的求知慾望，

使他們對本節內容的學習產生濃厚興趣.

2、動手實驗，提出猜想讓學生「做數學」，通過讓

他們動手去度量：①兩條直角邊的長分別是3和4的直角

三角形的斜邊的長，得到其斜邊的長是5的結論；度量：

②兩條直角邊的長分別是6和8的直角三角形的斜邊的長，

得到其斜邊的長是10的結論；度量：③兩條直角邊的長分

別是5和12的直角三角形的斜邊的長，得到其斜邊的長是圖1

13的結論.

進一步讓學生通過觀察得到結論：

32 + 42 = 52， 62 + 82 = 102， 52 + 122 = 132.

進而獲得猜想：

直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等於斜邊c的平方：a2 + b2 = c2.

猜想往往是創新思維的發端，猜想需要勇氣. 猜想是一種綜合程度較高的、帶有一定直覺性的高階認識過程，它是通過觀察、實驗、分析、比較、聯想、模擬、歸納等，依據已有的材料和知識所做出的符合一定經驗與事實的有創見的想象，是數學課堂教學中進行創新素質培養的有效內容.

3、拼圖證明，發現定理猜想是否正確？這就需要證明.怎麼證？

學生於是產生了一種思維的流動.這時老師讓學生人人動手，通過自己拼出的兩個面積相等的正方形，自己列出等式，自己完成證明，自己發現勾股定理，老師不加干預。在這個過程中，學生的認知力、觀察力、想象力、注意力、記憶力、獨創的實踐力得到了培養，創新意識、創新精神、創新人格、創新思維和創新能力得到了培養.

生1：課本是利用面積等量關係列出等式來證明勾股定理的.做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們如圖2那樣拼成兩個正方形.

這兩個正方形的邊長都是a+b，它們的面積

相等. 即

a2 + b2 + 4× ab = c2 + 4× ab，

整理得 a2 + b2 = c2 .

注意證法的多樣性，讓學生多角度地思考

問題，給出其它證明方法.開展豐富的聯想，用圖2

不同的方法、不同的立意去思考、解決同乙個問

題，往往更能把握問題本質.這樣做有利於提高學生的數學整體素質，使他們養成全面地、有創見地思考問題的習慣.

師：對課本的證明你們有什麼想法？

生：我感覺應該還有其它的證法.

師：我也有同感！大家看看，除了課本的證法外，我們還能找到其它證法嗎？

（學生興趣甚濃，獨立或分組進行拼圖實驗。教師對學生在實驗過程中發現的有價值的實驗結果進行交流和展示.學生先後找到了五種不同於課本的勾股定理的證明方法.

教師請學生上黑板展示他們的研究成果）

生2：以a、b為直角邊（b>a）c為斜邊做四個全等的直角

三角形，把這四個直角三角形拼成如圖3所示形狀.

可以證明，abcd是乙個邊長為c的正方形；efgh是乙個

邊長為b―a的正方形.

∴ .∴ . 圖3

生3：以a、b 為直角邊c為斜邊做兩個全等的直角三角形，把這兩個直角三角形拼成如圖4所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上.

可以證明，δdec是乙個等腰直角三角形，它的面積等

於；abcd是乙個直角梯形，它的面積等於 .

∴ .∴ . 圖4

生4：以a、b 為直角邊c為斜邊做四個全等的

直角三角形，把這四個直角三角形拼成如圖5所示形

狀，使a、e、b三點在一條直線上，b、f、c三點

在一條直線上，c、g、d三點在一條直線上.

可以證明，d、h、a三點在一條直線上；四邊

形efgh是乙個邊長為c的正方形；abcd是乙個

邊長為a + b的正方形.

∴ . 圖5

∴ .生5：做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c.

把它們拼成如圖6那樣的乙個多邊形，使d、e、f在一條直線上. 過c作ac的延長線交df於點p .

可以證明，abeg是乙個邊長為c的

正方形，bdpc是乙個邊長為a的正方形，

hpfg是乙個邊長為b的正方形.設多邊形

ghcbe的面積為s，則

, ∴ . 圖6

生6：做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 做兩個邊長分別是a、b的正方形.

把它們拼成如圖7那樣的乙個多邊形，使d、p、f在一條直線上，a、h、c、p在一條直線上. 過b作ab的垂線交df於點e，鏈結ge.

可以證明，δbde、δefg都是直角邊長分別為a、b斜

邊長為c的直角三角形； abeg是乙個邊長為c的正方形.

設多邊形ghcbe的面積為s，則

, ∴ .

（掌聲鼓勵）

4、拓展思維，延伸課外

師：剛才同學們是先拼出圖形，然後列出面積等式，將圖7

形轉化成數來完成勾股定理的證明的. 想一想，還有沒有其它

的證明方法？（將研究延伸到課外）

五、課後思考

1、數學是一門科學性和邏輯性強、結構嚴謹的科學，它體系完善、博大精深、應用廣泛、生命力強且富於變化；數學也是一門實驗的科學，具有很強的實踐性和可操作性.

2、面向全體學生，以人為本的教育理念落實到位，主體性得到充分體現.由於實現了學生角色的轉變，學法的創新，整節課幾乎都是學生自主實驗、自主探索、自主完成由形到數的轉化、勇於上講台展示研究成果，學生的主動性及合作精神都體現出來了.教師只是作為他們的一分子參與研究，起組織、引導的作用.

3、通過動手實驗，並經推理論證，學生本節課取得了5項研究成果，即取得了5種與課本不同的勾股定理的新證法.另有一些新思路延伸到課外研究.學生上台發言，展示成果，體驗了成功的喜悅.

學生的自信心得到培養，個性得以張揚.這5項研究成果不僅極大地豐富了學生對勾股定理的證明的認識，而且學生從中獲得了利用已知探求未知數學知識的能力和方法，這對學生今後的學習和將來的發展是大有裨益的.

勾股定理》一課的課堂教學

第乙個環節：探索勾股定理的教學

師（出示4幅圖形和**）：觀察、計算各圖中正方形a、b、c的面積，完成**，你有什麼發現？

生：從表中可以看出a、b兩個正方形的面積之和等於正方形c的面積。並且，從圖中可以看出正方形a、b的邊就是直角三角形的兩條直角邊，正方形c的邊就是直角三角形的斜邊，根據上面的結果，可以得出結論：

直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。

這裡，教師設計問題情境，讓學生探索發現「數」與「形」的密切關聯，形成猜想，主動探索結論，訓練了學生的歸納推理的能力，數形結合的思想自然得到運用和滲透，「面積法」也為後面定理的證明做好了鋪墊，雙基教學寓於學習情境之中。

第二個環節：證明勾股定理的教學

教師給各小組奮發製作好的直角三角形和正方形紙片，先分組拼圖**，在交流、展示，讓學生在實踐**活動中形成新的能力 (試圖發現拼圖和證明的規律：同乙個圖形面積用不同的方法表示)。

學生展示略

通過小組**、展示證明方法，讓學生把已有的面積計算知識與要證明的代數式聯絡起來，並試圖通過幾何意義的理解構造圖形，讓學生在探求證明方法的過程中深刻理解數學思想方法，提公升創新思維能力。

第三個環節：運用勾股定理的教學

師（出示右圖）：右圖是由兩個正方形

組成的圖形，能否剪拼為乙個面積不變的新

的正方形，若能，看誰剪的次數最少。

生（出示右圖）：可以剪拼成乙個面積

不變的新的正方形，設原來的兩個正方形的

邊長分別是a、b，那麼它們的面積和就是

a2+ b2，由於面積不變，所以新正方形的面積

應該是a2+ b2，所以只要是能剪出兩個以a、b

為直角邊的直角三角形，把它們重新拼成乙個

邊長為 a2+ b2 的正方形就行了。

問題是數學的心臟，學習數學的核心就在於提高解決問題的能力。教師在此設定問題不僅是檢驗勾股定理的靈活運用，更是對勾股定理**方法和證明思想（數形結合思想、面積割補的方法、轉化和化歸思想）的綜合運用，從而讓學生在解決問題中發展創新能力。

第四個環節：挖掘勾股定理文化價值

師：勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關係，見數與形密切聯絡起來。它在培養學生數學計算、數學猜想、數學推斷、數學論證和運用數學思想方法解決實際問題中都具有獨特的作用。

勾股定理的證明

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