勾股定理的證明方法

緒論勾股定理是世界上應用最廣泛,歷史最悠久,研究最深入的定理之一,是數學、幾何中的重要且基本的工具。而數千年來，許多民族、許多個人對於這個定理之證明數不勝數，達三百餘種。可見，勾股定理是人類利用代數思想、數學思想解決幾何問題、生活實際問題的共同智慧型之結晶，也是公理化證明體系的開端。

第一節勾股定理的基本內容

文字表述：在任何乙個的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等於斜邊長度的平方。

數學表達：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那麼a^2+b^2=c^2

事實上，它是餘弦定理之一種特殊形式。

第二節勾股定理的證明

2.1 歐洲

在歐洲,相傳最早證明勾股定理的是畢達哥拉斯，故在歐洲該定理得名畢達哥拉斯定理；又因畢達哥拉斯在證畢此定理後宰殺一百頭牛慶祝，故亦稱百牛定理。

歐洲最早記載這一定理之書籍，屬歐幾里得《幾何原本》。

畢達哥拉斯的證明方法（相傳）：

一說採用拼圖法，一說採用定理法。

做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像左圖那樣拼成兩個正方形。

從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等。

a2+b2+4×1/2ab = c2+4×1/2ab ，整理即可得到。

定理法就是幾何原本當中的證法：

設△abc為一直角三角形，其中a為直角。從a點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（sas定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

任意乙個正方形的面積等於其二邊長的乘積。任意乙個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。證明的概念為：

把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。

2.2 中國

《周髀算經》、《九章算術》當中都有相關問題的記載。

周髀算經的證明方法：

「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。

」——以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方），根據矩的弦外面再畫乙個矩（曲尺，實際上用作直角三角），將「外半其一矩」得到的三角形剪下環繞複製形成乙個大正方形，可看到其中有邊長三勾方、邊長四股方、邊長五弦方三個正方形。驗算勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來看，大正方形減去四個三角形面積後為弦方，再是大正方形減去右上、左下兩個長方形面積後為勾方股方之和。因三角形為長方形面積的一半，可推出四個三角形面積等於右上、左下兩個長方形面積，所以勾方+股方=弦方。

趙爽弦圖或許是中國人最著名的一種證法。

趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形abde是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。

於是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2 = c2;

化簡後便可得：

a2 + b2= c2

亦即：c=√（a2 + b2）

可見，中國古人主要採取拼圖法進行證明。後來美國**加菲爾德也曾採用拼圖法，利用面積巧妙的證明了勾股定理，他用了兩個全等的直角三角形拼成乙個梯形，利用面積法進行證明，非常巧妙。

2.3 其他方法

最快：射影定理法，利用相似形來證明。

面積思想：利用三角形五心的性質，利用面積來證明。

綜上所述，勾股定理的證明是人類智慧型的結晶。

勾股定理的證明方法

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勾股定理的證明方法

勾股定理的圖形證明方法

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