一、教學內容：勾股定理
1. 掌握勾股定理，了解用拼圖的方法驗證勾股定理．
2. 能夠利用勾股定理進行有關的計算或推理．
3. 能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題．
二、知識要點：
1. 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那麼a2＋b2直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，這就是
證法一（拼圖法）：如圖所示，因為大正方形的邊長為a＋b，所以面積為（a＋b）2；中間小正方形的面積為c2，周圍四個直角三角形的面積為4×ab；於是有（a＋b）2＝c2＋4×ab，整理得a2＋b2＝c2．
證法二（拼圖法）：如圖所示，因為大正方形的邊長為a＋b，所以面積為（a＋b）2．又因為此正方形的邊長與圖（1）中的正方形邊長相等，所以它們的面積也相等．故a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab，所以得到a2＋b2＝c2．
證法三（拼圖法）：如圖所示，該圖是由兩個全等的直角三角形和乙個以c為直角邊的等腰直角三角形拼成的，由梯形的面積公式，得s梯形＝（a＋b）（a＋b）＝（a＋b）2．而s梯形＝ab×2＋c2．故（a＋b）2＝ab＋c2，整理得a2＋b2＝c2．
證法四（拼圖法）：如圖所示，該圖是由四個全等的直角三角形和乙個小正方形拼成的．因為大正方形的面積為c2，四個直角三角形的面積和為4×ab，中間的小正方形的面積為（b－a）2，故c2＝4×ab＋（b－a）2，整理得a2＋b2＝c2．
2. 怎樣用勾股定理解決面積問題
求分別以直角三角形的三條邊為邊長的正方形的面積之間的關係，關鍵是找出正方形的面積與三角形的邊之間的關係．
如圖（1）所示，分別以rt△abc的三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用s1、s2、s3表示，可以很容易得出s1、s2、s3之間的關係．因為△abc為直角三角形，所以ab2＝ac2＋bc2，而s1＝ab2，s2＝bc2，s3＝ac2，故s1＝s2＋s3，圖（2）中s1、s2、s3之間的關係也可以用以上方法得到．
3. 立體圖形中的最短路徑問題
（1）圓柱中的最短路徑．
如圖①所示，圓柱的底面周長為20cm，高為4，bc是上底面的直徑，乙隻螞蟻從點a出發，沿著圓柱的側面爬行到點c，試畫出螞蟻爬行的最短路徑．
因為爬行是在立體圖形的表面上進行的，所以可以把立體圖形轉化成平面圖形，即它的側面展開圖（如圖②所示），再看出發點與目的點之間是哪條線段，需要時可根據勾股定理求出這條線段的長度．
（2）正方體中的最短路徑．
如圖③中的正方體，稜長為1，若乙隻小蟲從點a爬到點c，它爬行的最短路徑是多少？
將正方體展開後（如圖④所示），因為從點c出發有三條稜，故點c有三處位置，即點c1、c2、c3，分別鏈結ac1、ac2、ac3，可得它們的長度都是，故這只小蟲爬行的最短路徑為．
注意：當圖③中的立體圖形為長方體時，也是用同樣的方法進行分情況比較，但沿這些不同路徑，所走路程可能會不同．
三、重點難點：
重點是掌握勾股定理的內容，難點是勾股定理的應用．
【典型例題】
例1. 如圖所示，在rt△abc中，∠acb＝90°，∠b＝60°，a＝4，求b、c，△abc的面積及斜邊ab上的高．
分析：在rt△abc中，由∠b＝60°可知∠a＝30°，根據30°銳角所對的直角邊等於斜邊的一半可求出c，然後根據勾股定理求出b. 進一步用面積公式s△abc＝ab，求出s△abc，最後由ab＝c·cd，求cd的長或者是在rt△acd中，用30°的銳角所對的直角邊cd等於斜邊ac的一半來求．
解：在rt△abc中，∠acb＝90°，∠b＝60°，所以∠a＝30°．
又因為a＝4，所以c＝8．
根據勾股定理得b2＝c2－a2＝82－42＝48，
所以b＝＝4．
所以s△abc＝ab＝×4×4＝8．
在rt△acd中，因為∠a＝30°，所以cd＝ac，
所以cd＝×4＝2．
評析：直角三角形中30°銳角所對的直角邊等於斜邊的一半．
例2. 乙個零件的形狀如圖所示，已知ac＝3cm，ab＝4cm，bd＝12cm．求cd的長．
分析：要求cd的長，由圖知cd2＝bc2＋bd2，bd的長已知，在rt△abc中，應用勾股定理，求得bc，進而求cd.
解：在rt△abc中，根據勾股定理，得
bc2＝ac2＋ab2＝32＋42＝25．
在rt△cbd中，根據勾股定理，得
cd2＝bc2＋bd2＝25＋122＝169，
所以cd＝13．
評析：bc在本圖中，既是rt△abc的斜邊，又是rt△cbd的直角邊．
例3. 如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長是7cm，則正方形a、b、c、d的面積之和為
分析：由勾股定理，得正方形a、b的面積之和是正方形e的面積，而正方形c、d的面積之和是正方形f的面積．同理，正方形e、f的面積之和是正方形g的面積．所以這四個正方形的面積之和是大正方形g的面積49cm2．
幾種簡單證明勾股定理的方法 精
拼圖法 定理法 江蘇省泗陽縣李口中學沈正中 據說對社會有重大影響的10大科學發現，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。迄今為止，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，各種證法融幾何知識與代數知識於一體，完美地體現了數形結合的魅力。讓...
勾股定理的證明方法
證法1 課本的證明 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a b c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a b，所以面積相等.即 整理得 證法2 鄒元治證明 以a b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三...
勾股定理的證明方法
緒論勾股定理是世界上應用最廣泛,歷史最悠久,研究最深入的定理之一,是數學 幾何中的重要且基本的工具。而數千年來，許多民族 許多個人對於這個定理之證明數不勝數，達三百餘種。可見，勾股定理是人類利用代數思想 數學思想解決幾何問題 生活實際問題的共同智慧型之結晶，也是公理化證明體系的開端。第一節勾股定理的...