正弦定理的幾種證明方法

1.利用三角形的高證明正弦定理

（1）當abc是銳角三角形時，設邊ab上的高是cd，根據銳角三角函式的定義，有,。

由此，得 ，同理可得

故有 .從而這個結論在銳角三角形中成立.

（2）當abc是鈍角三角形時，過點c作ab邊上的高，交ab的延長線於點d，根據銳角三角函式的定義，有， 。由此，得 ，同理可得

故有 .

由(1)(2)可知，在abc中， 成立.

從而得到：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即.

1』用知識的最近生長點來證明：

實際應用問題中，我們常遇到問題：

已知點a，點b之間的距｜ab|，可測量角a與角b，

需要定位點c，即：

在如圖△abc中，已知角a，角b，｜ab｜＝c，

求邊ac的長b

解：過c作cdab交ab於d，則

推論：同理可證：

2.利用三角形面積證明正弦定理

已知△abc,設bc＝a, ca＝b,ab＝c,作ad⊥bc,垂足為d. 則rt△adb中, , ∴ad=ab·sinb=csinb.

∴s△abc=. 同理,可證 s△abc=.

∴ s△abc=. ∴absinc=bcsina=acsinb,

在等式兩端同除以abc,可得. 即.

3.向量法證明正弦定理

(1)△abc為銳角三角形,過點a作單位向量j垂直於,則j與的夾角為90°-a,j與的夾角為90°-c. 由向量的加法原則可得 ,

為了與圖中有關角的三角函式建立聯絡,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數量積運算,得到

由分配律可得b

∴|j|cos90°+|j|cos(90°-c)=|j|cos(90°-a). j

∴asinc=csinaa

另外,過點c作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+c,j與的夾角為90°+b,可得.

(此處應強調學生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-c,j與的夾角為90°-b) ∴.

(2)△abc為鈍角三角形,不妨設a＞90°,過點a作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為a-90°,j與的夾角為90°-c.

由,得j· +j·=jj

即a·cos(90°-c)=c·cos(a-90°), ∴asinc=csina. ∴

另外,過點c作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+c,j與夾角為 90°+b.同理,可得. ∴

4.外接圓證明正弦定理

在△abc中,已知bc=a,ac=b,ab=c,作△abc的外接圓,o為圓心,鏈結bo並延長交圓於b′,設bb′=2r.則根據直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到

∠bab′=90°，∠c =∠b′，∴sinc=sinb′=. ∴.

同理,可得. ∴.

這就是說,對於任意的三角形,我們得到等式.

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