一、正弦定理的幾種證明方法
1.利用三角形的高證明正弦定理
（1）當abc是銳角三角形時，設邊ab上的高是cd，根據銳角三角函式的定義，有,。
由此，得，同理可得
故有 .從而這個結論在銳角三角形中成立.
（2）當abc是鈍角三角形時，過點c作ab邊上的高，交ab的延長線於點d，根據銳角三角函式的定義，有， 。由此，得 ，同理可得
故有 .
由(1)(2)可知，在abc中， 成立.
從而得到：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即.
2.利用三角形面積證明正弦定理
已知△abc,設bc＝a, ca＝b,ab＝c,作ad⊥bc,垂足為d. 則rt△adb中, , ∴ad=ab·sinb=csinb.
∴s△abc=. 同理,可證 s△abc=.
∴ s△abc=. ∴absinc=bcsina=acsinb,
在等式兩端同除以abc,可得. 即.
3.向量法證明正弦定理
(1)△abc為銳角三角形,過點a作單位向量j垂直於,則j與的夾角為90°-a,j與的夾角為90°-c. 由向量的加法原則可得 ,
為了與圖中有關角的三角函式建立聯絡,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數量積運算,得到
由分配律可得b
∴|j|cos90°+|j|cos(90°-c)=|j|cos(90°-a). j
∴asinc=csinaa
另外,過點c作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+c,j與的夾角為90°+b,可得.
(此處應強調學生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-c,j與的夾角為90°-b) ∴.
(2)△abc為鈍角三角形,不妨設a＞90°,過點a作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為a-90°,j與的夾角為90°-c.
由,得j· +j·=jj
即a·cos(90°-c)=c·cos(a-90°), ∴asinc=csina. ∴
另外,過點c作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+c,j與夾角為 90°+b.同理,可得. ∴
4.外接圓證明正弦定理
在△abc中,已知bc=a,ac=b,ab=c,作△abc的外接圓,o為圓心,鏈結bo並延長交圓於b′,設bb′=2r.則根據直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到
∠bab′=90°，∠c =∠b′，∴sinc=sinb′=. ∴.
同理,可得. ∴.
這就是說,對於任意的三角形,我們得到等式
. 法一(平面幾何)：在△abc中，已知，求c。
過a作，
在rt中，，
法二（平面向量）：
，即：法三（解析幾何）：把頂點c置於原點，ca落在x軸的正半軸上，由於△abc的ac=b，cb=a，ab=c，則a，b，c點的座標分別為a(b，0)，b(acosc，asinc)，c(0，0)．
|ab|2=(acosc－b)2+(asinc－0)2
=a2cos2c－2abcosc+b2+a2sin2c
=a2+b2－2abcosc，
即c2=a2+b2－2abcosc．
.法五（用相交弦定理證明餘弦定理）:
如圖，在三角形abc中，∠a=α，ab=a，bc=b，ac=c。現在以b為圓心，以長邊ab為半徑做圓，這裡要用長邊的道理在於，這樣能保證c點在圓內。bc的延長線交圓b於點d和e
這樣以來，dc=a-b，ce=a+b，ac=c。因為ag=2acosα，所以cg=2acosα-c。根據相交弦定理有：
dc×ce=ac×cg，帶入以後就是
(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)
化簡以後就得b2=a2+c2+2accosα。也就是我們的餘弦定理。
如圖，在△abc中，ab＝4 cm，ac＝3 cm，角平分線ad＝2 cm，求此三角形面積.
分析：由於題設條件中已知兩邊長，故而聯想面積公式s△abc＝ab·ac·sina，需求出sina，而△abc面積可以轉化為s△adc＋s△adb，而s△adc＝ac·adsin，s△adb＝ab·ad·sin，因此通過s△abc＝s△adc＋s△adb建立關於含有sina，sin的方程，而sina＝2sincos，sin2＋cos2＝1，故sina可求，從而三角形面積可求.
解：在△abc中，s△abc＝s△adb＋s△adc，
∴ab·acsina＝·ac·ad·sin＋·ab·adsin
∴·4·3sina＝·3·2sin，∴6sina＝7sin
∴12sincos＝7sin
∵sin≠0，∴cos＝，又0＜a＜π，∴0＜＜
∴sin＝＝，
∴sina＝2sincos＝，
∴s△abc＝·4·3sina＝（cm2）.
在△abc中，ab＝5，ac＝3，d為bc中點，且ad＝4，求bc邊長.
解：設bc邊為x，則由d為bc中點，可得bd＝dc＝，
在△adb中，cosadb＝＝
在△adc中，cosadc＝＝
又∠adb＋∠adc＝180°
∴cosadb＝cos（180°－∠adc）＝－cosadc.
∴＝－解得，x＝2
所以，bc邊長為2.
2.在△abc中，已知角b＝45°，d是bc邊上一點，ad＝5，ac＝7，dc＝3，求ab.
解：在△adc中，
cosc＝＝＝，
又0＜c＜180°，∴sinc＝
在△abc中，＝
∴ab＝ac＝··7＝.
3.在△abc中，已知cosa＝，sinb＝，求cosc的值.
解：∵cosa＝＜＝cos45°，0＜a＜π
∴45°＜a＜90°，∴sina＝
∵sinb＝＜＝sin30°，0＜b＜π
∴0°＜b＜30°或150°＜b＜180°
若b＞150°，則b＋a＞180°與題意不符.
∴0°＜b＜30° cosb＝
∴cos（a＋b）＝cosa·cosb－sina·sinb＝·－·＝
又c＝180°－（a＋b）.
∴cosc＝cos［180°－（a＋b）］＝－cos（a＋b）＝－.
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