武安市第十中學申巨集偉
一、教學內容分析
「正弦定理」是《普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修5）》（人教版）第一章第一節的主要內容，它既是初中「解直角三角形」內容的直接延拓，也是三角函式一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。為什麼要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發現的？
其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。
本節課是「正弦定理」教學的第一課時，其主要任務是引入並證明正弦定理，在課型上屬於「定理教學課」。因此，做好「正弦定理」的教學，不僅能複習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯絡、發展等辯證觀點，而且通過對定理的**，能使學生體驗到數學發現和創造的歷程，進而培養學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。
二、學生學習情況分析
學生在初中已經學習了解直角三角形的內容，在必修4中，又學習了三角函式的基礎知識和平面向量的有關內容，對解直角三角形、三角函式、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關於任意三角形邊角關係的重要定理之一，《課程標準》強調在教學中要重視定理的**過程，並能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數學在實際中的應用，從而激發學生學習數學的興趣，也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。
三、設計思想
培養學生學會學習、學會**是全面發展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會**呢？建構主義認為：
「知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。」這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，並通過與他人（在教師指導和學習夥伴的幫助下）協作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。
本節「正弦定理」的教學，將遵循這個原則而進行設計。
四、教學目標
1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關係的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法。
2、過程與方法：讓學生從已有的知識出發,共同**在任意三角形中，邊與其對角的關係，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數學發現和創造的歷程。
3、情感態度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現共同**、教學相長的教學情境。
五、教學重點與難點
重點：正弦定理的發現和推導
難點：正弦定理的推導
六、教學過程設計
（一）設定情境
利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬。因上游暴發特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭a處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉運到正對岸的碼頭b處或其下游的碼頭c處，請你確定轉運方案。
已知船在靜水中的速度，水流速度。
【設計意圖】培養學生的「數學起源於生活，運用於生活」的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。
（二）提出問題
師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮有關的問題，將各自的問題經小組（前後4人為一小組）彙總整理後交給我。
待各小組將問題交給老師後，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經大家歸納整理後得到如下的五個問題：
1、船應開往b處還是c處？
2、船從a開到b、c分別需要多少時間？
3、船從a到b、c的距離分別是多少？
4、船從a到b、c時的速度大小分別是多少？
5、船應向什麼方向開，才能保證沿直線到達b、c？
【設計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學習與情感交流的時空，培養學生合作學習的能力；問題源於學生，突出學生學習的主體性，能激發學生學習的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現教師的主導作用。
師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決上述問題？
大家經過討論達成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題4，問題4與問題5是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題4和5。
師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什麼，要求什麼，怎樣求解。
生1：船從a開往b的情況如圖2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小及與的夾角：
， 用計算器可求得
船從a開往c的情況如圖3，，，易求得，還需求及，我還不知道怎樣解這兩個問題。
師：請大家思考，這兩個問題的數學實質是什麼？
部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。
【設計意圖】將問題數學化，有助於加深學生對問題的理解，有助於培養學生的數學意識。
師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？
生3：不知道。
師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那麼圖2與圖3有何異同點？
生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中是直角三角形，而圖3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關係求解。
師：圖3的情形能否轉化成直角三角形來解呢？
【設計意圖】通過教師的問題引導，啟發學生將問題進行轉化，培養學生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。
生5：能，過點d作於點g（如圖4），
， 師：很好！採取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。
但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關係求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關係？
【設計意圖】通過教師對學生的肯定評價，創造乙個教與學的和諧環境，既激發學生的學習興趣，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利於學生和教師的共同成長。
（三）解決問題
1、正弦定理的引入
師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？
眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。可以以直角三角形為特例，先在直角三角形中試探一下。
師：如果一般三角形具有某種邊角關係，對於特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學們對直角三角形進行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關係？同學們可以參與小組共同研究。
（1）學生以小組為單位進行研究；教師觀察學生的研究進展情況或參與學生的研究。
（2）展示學生研究的結果。
【設計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流，並通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結論做準備；同時通過展示研究結論，強化學生學習的動機，增進學生的成功感及學習的信心。
師：請說出你研究的結論？
生7：師：你是怎樣想出來的？
生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等於斜邊。
師：有沒有其它的研究結論？（根據實際情況，引導學生進行分析判斷結論正確與否，或留課後進一步深入研究。）
師：對一般三角形是否成立呢？
眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有乙個不成立，則否定結論：若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。
師：這是個好主意。那麼對等邊三角形是否成立呢？
生9：成立。
師：對任意三角形是否成立，現在讓我們借助於《幾何畫板》做乙個數學實驗，……
【設計意圖】引導學生的思維逐步形成「情境思考」——「提出問題」——「研究特例」——「歸納猜想」——「實驗**」——「理論**」——「解決問題」的思維方式，進而形成解決問題的能力。
2、正弦定理的**
（1）實驗**正弦定理
師：借助於電腦與多**，利用《幾何畫板》軟體，演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。
結論：對於任意三角形都成立。
【設計意圖】通過《幾何畫板》軟體的演示，使學生對結論的認識從感性逐步上公升到理性。
師：利用上述結論解決情境問題中圖3的情形，並檢驗與生5的計算結果是否一致。
生10：（通過計算）與生5的結果相同。
師：如果上述結論成立，則在三角形中利用該結論解決「已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。」的問題就簡單多了。
【設計意圖】與情境設定中的問題相呼應，間接給出了正弦定理的簡單應用，並強化學生學習**、應用正弦定理的心理需求。
（2）點明課題：正弦定理
（3）正弦定理的理論**
師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同**正弦定理的證明。
**方案：
直角三角形——已驗證；
銳角三角形——課堂**；
鈍角三角形——課後證明。
【設計意圖】通過分析，確定**方案。課堂只讓學生**銳角三角形的情形，有助於在不影響**程序的同時，為**銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課後證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。
師：請你（生11）到講台上，講講你的證明思路？
生11：（走上講台），設法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作bc邊上的高ad，則，所以
，同理可得
師：因為要證明的是乙個等式，所以應從銳角三角形的條件出發，構造等量關係從而達到證明的目的。注意：表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是乙個簡捷的證明方法！
【設計意圖】點明此證法的實質是找到乙個可以作為證明基礎的等量關係，為後續兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。
師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關係呢？
學生七嘴八舌地說出一些等量關係，經討論後確定如下一些與直角三角形有關的等量關係可能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學生分別利用這兩種關係作為基礎又得出了如下兩種證法：
證法二：如圖6，設ad、be、cf分別是的三條高。則有，，
。證法三：如圖7，設是外接圓的直徑，則，
同理可證：
【設計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式
及一併牽出，使知識的產生自然合理。
師：前面我們學習了平面向量，能否運用向量的方法證明呢？
師：任意中，三個向量、、間有什麼關係？
生12：
師：正弦定理體現的是三角形中邊角間的數量關係，由轉化成數量關係？
1 1 1正弦定理
第一章解三角形 1.1 正弦正理和餘弦定理 1.1.1 正弦定理 選題明細表 基礎鞏固 1.在三角形abc中,a 120 ab 5,bc 7,則的值為 a a b c d 解析 由正弦定理得 得sin c 且c為銳角,所以cos c 因為a b c 所以sin b sin a c sin acos ...
1 1 1正弦定理
課題 正弦定理 課型 新授編號 01 時間 2011 9 1 一 教學目標 一 知識目標 1 掌握正弦定理內容及證明定理的方法。2 會運用正弦定理解決兩類基本的解三角形問題。二 能力目標 培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力以及探索數學規律的思維能力 三 思想目標 通過三角函式，正弦定...
1 1 1正弦定理教案
一 教學目標 1 知識與技能 通過對任意三角形邊長和角度關係的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法 會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形中的一類簡單問題 2.過程與方法 讓學生從已有的幾何知識出發,共同 在任意三角形中，邊與其對角的關係，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理...