第3章第5節
一、選擇題
1．(文)(2010·泰安模考)在△abc中，若a＝60°，bc＝4，ac＝4，則角b的大小為( )
a．30b．45°
c．135d．45°或135°
[答案] b
[解析] ∵ac·sin60°＝4×＝2<4<4，故△abc只有一解，由正弦定理得，＝，
∴sinb＝，∵4<4，∴b(理)在△abc中，角a、b、c所對的邊分別為a、b、c，如果c＝a，b＝30°，那麼角c等於( )
a．120b．105°
c．90d．75°
[答案] a
[解析] ∵c＝a，∴sinc＝sina＝sin(180°－30°－c)＝sin(30°＋c)＝，
即sinc＝－cosc，∴tanc＝－.
又c∈(0°，180°)，∴c＝120°.故選a.
2．(文)(2010·棗莊八中)在△abc中，內角a，b，c對邊的長度分別是a，b，c，已知c＝2，c＝，△abc的面積等於，則a，b的值分別為( )
a．a＝1，b＝4b．a＝4，b＝1
c．a＝4，b＝4d．a＝2，b＝2
[答案] d
[解析] 由餘弦定理得，a2＋b2－ab＝4，又因為△abc的面積等於，所以absinc＝，∴ab＝4.
聯立，解得a＝2，b＝2.
(理)△abc的周長為20，面積為10，a＝60°，則bc邊的長是( )
a．5b．6
c．7d．8
[答案] c
[解析] 由條件知
由(1)得bc＝40，由(2)得b＋c＋＝20(3)
將bc＝40代入(3)中，解方程得b＋c＝13，
∴b＝8，c＝5或b＝5，c＝8，
∴a＝＝7，故選c.
3．(文)(2010·皖南八校)在△abc中，ab＝，ac＝2，若o為△abc內部的一點，且滿足＋＋＝0，則·＝( )
ab.cd.
[答案] c
[解析] 由題易知o為△abc的重心，取bc的中點d2－2)＝.
(理)(09·寧夏、海南)已知點o、n、p在△abc所在平面內，且0，·＝·＝·，則點o、n、p依次是△abc的( )
a．重心外心垂心
b．重心外心內心
c．外心重心垂心
d．外心重心內心
[答案] c
[解析即點o到頂點a、b、c的距離相等，∴點o為△abc的外心．如圖，設d為bc邊的中點，則＋＝2.∵＋＋＝0，∴＋2＝0，∴＝2，∴a、d、n三點共線，
∴點n在bc邊的中線上，同理點n也在ab、ac邊的中線上，∴點n是重心．
0，∴·(－)＝0，∴·＝0，∴⊥.
同理，⊥，⊥，∴點p是△abc的垂心．
4．(文)(2010·湖南理)在δabc中，角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c.若∠c＝120°，c＝a，則( )
a．a＞bb．a＜b
c．a＝bd．a與b的大小關係不能確定
[答案] a
[解析] ∵∠c＝120°，c＝a，c2＝a2＋b2－2abcosc
∴a2－b2＝ab，
又∵a>0，b>0，∴a－b＝>0，所以a>b.
(理)(2010·山東濟南)在△abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanb＝ac，則角b的值為( )
ab.c.或d.或
[答案] d
[解析] 由(a2＋c2－b2)tanb＝ac得，·tanb＝，再由餘弦定理cosb＝得，2cosb·tanb＝，即sinb＝，∴角b的值為或，故應選d.
5．(2010·四川雙流縣質檢)在△abc中，tana＝，cosb＝，若最長邊為1，則最短邊的長為( )
ab.cd.
[答案] d
[解析] 由tana>0，cosb>0知a、b均為銳角，
∵tana＝<1，∴0，
∴0由cosb＝知，tanb＝，∴b由條件知，sina＝，cosa＝，sinb＝，
∴sinc＝sin(a＋b)＝sinacosb＋cosasinb
＝×＋×＝，
由正弦定理，＝知，＝，∴b＝.
6．△abc中，a、b、c分別為∠a、∠b、∠c的對邊，如果a、b、c成等差數列，∠b＝30°，△abc的面積為0.5，那麼b為( )
a．1b．3＋
cd．2＋
[答案] c
[解析] acsinb＝，∴ac＝2，
又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，
由餘弦定理b2＝a2＋c2－2accosb得，b＝.
7．(2010·天津理)在△abc中，內角a，b，c的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinc＝2sinb，則a＝( )
a．30b．60°
c．120d．150°
[答案] a
[解析] 由餘弦定理得：cosa＝，由題知b2－a2＝－bc，c2＝2bc，則cosa＝，
又a∈(0°，180°)，∴a＝30°，故選a.
8．(2010·山師大附中模考)在△abc中，cos2＝(a，b，c分別為角a，b，c的對邊)，則△abc的形狀為( )
a．直角三角形b．正三角形
c．等腰三角形d．等腰三角形或直角三角形
[答案] a
[解析] ∵cos2＝，∴＝，
∴sinccosb＝sina，
∴sinccosb＝sin(b＋c)，∴sinbcosc＝0，
∵09．(2010·廈門市檢測)在△abc中，角a、b、c所對應的邊分別為a、b、c，若角a、b、c依次成等差數列，且a＝1，b＝，則s△abc等於( )
ab.cd．2
[答案] c
[解析] ∵a、b、c成等差數列，∴b＝60°，
∵＝，∴sina＝＝＝，
∴a＝30°或a＝150°(捨去)，∴c＝90°，
∴s△abc＝ab＝.
10．(2010·山東煙台)已知非零向量，和滿足·＝0，且＝，則△abc為( )
a．等邊三角形
b．等腰非直角三角形
c．直角非等腰三角形
d．等腰直角三角形
[答案] d
[解析] ∵＝cos∠acb＝，
∴∠acb＝45°，
又∵·＝0，
∴∠a＝90°，∴△abc為等腰直角三角形，故選d.
二、填空題
11．(文)在銳角△abc中，邊長a＝1，b＝2，則邊長c的取值範圍是________．
[答案] [解析] 邊c最長時：
cosc＝＝>0，
∴c2<5.∴0邊b最長時：cosb＝＝>0，
∴c2>3.∴c>.
綜上， (理)(2010·合肥市質檢)在△abc中，＝，則角b
[答案]
[解析] 依題意得sin2a－sin2b＝sin(a＋b)( sina－sinc)＝sinasinc－sin2c，
由正弦定理知：a2－b2＝ac－c2，
∴a2＋c2－b2＝ac，
由餘弦定理知：cosb＝＝，
∴b＝.
12．(文)(2010·廣東理)已知a，b，c分別是△abc的三個內角a，b，c所對的邊．若a＝1，b＝，a＋c＝2b，則sina
[答案]
[解析] ∵a＋c＝2b，a＋b＋c＝180°，∴b＝60°，
由正弦定理得，sina＝＝＝.
(理)(2010·海淀市模擬)在△abc中，角a、b、c所對應的邊分別為a、b、c，若a＝csina，則的最大值為________．
[答案]
[解析] 由a＝csina及正弦定理得sina＝sinc·sina，從而有sinc＝1，∠c＝90°，所以有a2＋b2＝c2，＝＝≤＝.
13．判斷下列三角形解的情況，有且僅有一解的是________．
①a＝1，b＝，b＝45°；
②a＝，b＝，a＝30°；
③a＝6，b＝20，a＝30°；
④a＝5，b＝60°，c＝45°.
[答案] ①④
[解析] ①一解，asinb＝<1<，有一解．
②兩解，b·sina＝<<，有兩解；
③無解，b·sina＝10>6，無解．
④一解，已知兩角和一邊，三角形唯一確定．
14．(2010·上海模擬)在直角座標系xoy中，已知△abc的頂點a(－1,0)，c(1,0)，頂點b在橢圓＋＝1上，則的值為________．
[答案] 2
[解析] 由題意知△abc中，ac＝2，ba＋bc＝4，
由正弦定理得＝＝2.
三、解答題
15．(文)△abc中內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，向量m＝(2sinb，－)，n＝(cos2b,2cos2－1)且m∥n.
(1)求銳角b的大小；
(2)如果b＝2，求△abc的面積s△abc的最大值．
[分析] (1)問利用平行向量的座標表示將向量知識轉化為三角函式，利用三角恒等變換知識解決；(2)問利用餘弦定理與基本不等式結合三角形面積公式解決．
[解析] (1)∵m∥n，
∴2sinb＝－cos2b
∴sin2b＝－cos2b，即tan2b＝－
又∵b為銳角，∴2b∈(0，π)
∴2b＝，∴b＝.
(2)∵b＝，b＝2，
∴由餘弦定理cosb＝得，
a2＋c2－ac－4＝0
又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(當且僅當a＝c＝2時等號成立)
s△abc＝acsinb＝ac≤(當且僅當a＝c＝2時等號成立)．
[點評] 本題將三角函式、向量與解三角形有機的結合在一起，題目新穎精巧，難度也不大，即符合在知識「交匯點」處命題，又能加強對雙基的考查，特別是向量的座標表示及運算，大大簡化了向量的關係的運算，該類問題的解題思路通常是將向量的關係用座標運算後轉化為三角函式問題，然後用三角函式基本公式結合正、餘弦定理求解．
(理)(2010·山東濱州)已知a、b、c分別為△abc的三邊a、b、c所對的角，向量m＝(sina，sinb)，n＝(cosb，cosa)，且m·n＝sin2c.
(1)求角c的大小；
(2)若sina，sinc，sinb成等差數列，且·(－)＝18，求邊c的長．
[解析] (1)m·n＝sina·cosb＋sinb·cosa＝sin(a＋b)．
在△abc中，由於sin(a＋b)＝sinc.
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