[a組基礎演練·能力提公升]
一、選擇題
1．(2023年北京東城區期末)在△abc中，a，b，c為內角，且sin acos a＝sin bcos b，則△abc是( )
a．等腰三角形b．直角三角形
c．等腰直角三角形 d．等腰或直角三角形
解析：由sin acos a＝sin bcos b得sin 2a＝sin 2b＝sin(π－2b)，所以2a＝2b或2a＝π－2b，即a＝b或a＋b＝，所以△abc為等腰或直角三角形，選d.
答案：d
2．(2023年長沙模擬)在斜三角形abc中，sin a＝－cos b·cos c，且tan b·tan c＝1－，則角a的值為( )
a. b.
c. d.
解析：由題意知，sin a＝－cos b·cos c＝sin(b＋c)＝sin b·cos c＋cos b·sin c，在等式－cos b·cos c＝sin b·cos c＋cos b·sin c兩邊除以cos b·cos c得tan b＋tan c＝－，tan(b＋c)＝＝－1＝－tan a，所以角a＝.
答案：a
3．(2023年高考湖南卷)在銳角△abc中，角a，b所對的邊長分別為a，b.若2asin b＝b，則角a等於( )
a. b.
c. d.
解析：由已知及正弦定理得2sin asinb＝sin b，因為sin b>0，所以sin a＝.又a∈，所以a＝.
答案：d
4．(2023年鐵嶺六校聯考)在△abc中，a，b，c的對邊分別為a，b，c且acos c，bcos b，ccos a成等差數列，則b的值為( )
a. b.
c. d.
解析：由題意得acos c＋ccos a＝2bcos b，又a＝2rsin a，b＝2rsin b，c＝2rsin c，得sin(a＋c)＝2sin bcos b，即sin b＝2sin bcos b，在△abc中，0答案：b
5．在△abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，ac＝3，且a＝3bsin a，則△abc的面積等於( )
a. b.
c．1 d.
解析：∵a＝3bsin a，∴由正弦定理得sin a＝3sin bsin a，∴sin b＝.∵ac＝3，∴△abc的面積s＝acsin b＝×3×＝，故選a.
答案：a
6．在△abc中，角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c，sin a，sin b，sin c成等比數列，且c＝2a，則cos b的值為( )
a. b.
c. d.
解析：因為sin a，sin b，sin c成等比數列，所以sin2b＝sin asin c，由正弦定理得，b2＝ac，又c＝2a，故cos b＝＝＝，故選b.
答案：b
二、填空題
7．(2023年長春模擬)△abc中，a，b，c分別是角a，b，c的對邊，若a2－c2＝2b，且sin b＝6cos a·sin c，則b的值為________．
解析：由正弦定理與餘弦定理可知，sin b＝6cos asin c可化為b＝6··c，化簡可得b2＝3(b2＋c2－a2)，
又a2－c2＝2b且b≠0，得b＝3.
答案：3
8．在△abc中，∠c＝90°，m是bc的中點，若sin∠bam＝，則sin∠bac
解析：△abm中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0，＝，故sin∠bac＝＝.
答案：9．設△abc的內角a，b，c所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sin a＝5sin b，則角c
解析：由3sin a＝5sin b可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，則b＝3t，c＝7t，可得cos c＝＝＝－，故c＝.
答案：三、解答題
10．(2023年太原模擬)在銳角△abc中，a，b，c是角a，b，c的對邊，且a＝2csin a.
(1)求角c的度數；
(2)若c＝，且△abc的面積為，求a＋b的值．
解析：(1)由正弦定理得：
sin a＝2sin csin a，
∵a，c是銳角，∴sin c＝，∴c＝60°.
(2)由已知得，△abc的面積s＝absin c＝，
∴ab＝6.
由餘弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos c＝(a＋b)2－3ab，
∴(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5.
11．(2023年荊州模擬)已知函式f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－，x∈r.
(1)求函式f(x)的最小正週期；
(2)在銳角△abc中，若f(a)＝1，·＝，求△abc的面積．
解析：(1)f(x)＝2sin xcos x＋ (2cos2x－1)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
故函式f(x)的最小正週期為t＝＝π.
(2)在銳角△abc中，有f(a)＝2sin＝1，
∵0∴2a＋＝，∴a＝.
又·＝||·||cos a＝，
∴||·||＝2.
∴△abc的面積s＝||·||sin a＝×2×＝.
12．(能力提公升)(2023年南昌模擬)在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，已知cos c＋(cos a－sin a)cos b＝0.
(1)求角b的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值範圍．
解析：(1)由已知得－cos(a＋b)＋cos acos b－
sin acos b＝0，即有sin asin b－sin acos b＝0，
因為sin a≠0，所以sin b－cos b＝0，又cos b≠0，所以tan b＝，又0(2)由餘弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos b.
因為a＋c＝1，cos b＝，所以b2＝32＋.
又0[b組因材施教·備選練習]
1．(2023年鄭州模擬)已知a，b，c分別為△abc三個內角a，b，c的對邊，2bcos c＝2a－c，
(1)求b；
(2)若△abc的面積為，求b的取值範圍．
解析：(1)由正弦定理得2sin bcos c＝2sin a－sin c，
∵在△abc中，sin a＝sin(b＋c)＝sin bcos c＋sin ccos b，
∵sin c(2cos b－1)＝0，又00，
∴cos b＝，注意到0(2)∵s△abc＝acsin b＝，∴ac＝4，
由餘弦定理得b2＝a2＋c2－2accos b＝a2＋c2－ac≥ac＝4，
當且僅當 a＝c＝2時，「＝」成立，
∴b的取值範圍為b≥2.
2．在△abc中，角a，b，c的對邊分別是a，b，c，已知向量m＝(cos a，cos b)，n＝(a,2c－b)，且m∥n.
(1)求角a的大小；
(2)若a＝4，求△abc面積的最大值
解析：(1)因為m∥n，所以acos b－(2c－b)cos a＝0，由正弦定理得sin acos b－(2sin c－sin b)cos a＝0，
所以sin acos b－2sin ccos a＋sin bcos a＝0，
即sin acos b＋sin bcos a＝2sin ccos a，
所以sin(a＋b)＝2sin ccos a.
又a＋b＋c＝π，所以sin c＝2sin ccos a，
因為00，
所以cos a＝，又0(2)由餘弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos a，
所以16＝b2＋c2－bc≥bc，所以bc≤16，
當且僅當b＝c＝4時，上式取「＝」，
所以△abc面積為s＝bcsin a≤4，
所以△abc面積的最大值為4.
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3 5正弦定理和餘弦定理
第3章第5節 一 選擇題 1 文 2010 泰安模考 在 abc中，若a 60 bc 4，ac 4，則角b的大小為 a 30b 45 c 135d 45 或135 答案 b 解析 ac sin60 4 2 4 4，故 abc只有一解，由正弦定理得，sinb 4 4，b 理 在 abc中，角a b c...
2019高考數學知識考點精析17正弦定理與餘弦定理
第十七講正弦定理與餘弦定理 2 餘弦定理 在三角形abc中，有 3 其它公式 1 射影公式 其中r為三角形abc內切圓半徑，r為外接圓的半徑，4 正弦定理在解三角形中的應用 1 已知兩角和一邊解三角形，只有一解。2 已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形，要注意對解的個數的討論。可按如下步驟和方法進行 ...
《正弦定理和餘弦定理》教學反思
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