1．掌握正弦定理、餘弦定理，並能解決一些簡單的三角形度量問題．
2．能夠運用正弦定理、餘弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．
主要考查有關定理的應用、三角恒等變換的能力、運算能力及轉化的數學思想．解三角形常常作為解題工具用於立體幾何中的計算或證明，或與三角函式聯絡在一起求距離、高度以及角度等問題，且多以應用題的形式出現．
1．正弦定理
(1)正弦定理：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即其中r是三角形外接圓的半徑．
(2)正弦定理的其他形式：
①a＝2rsina，bc
②sina＝，sinb
sinc
③a∶b∶c
2．餘弦定理
(1)餘弦定理：三角形中任何一邊的平方等於其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即
a2b2
c2若令c＝90°，則c2即為勾股定理．
(2)餘弦定理的變形：cosacosbcosc
若c為銳角，則cosc>0，即a2＋b2______c2；若c為鈍角，則cosc<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2與c2值的大小比較，可以判斷c為銳角、鈍角或直角．
(3)正、餘弦定理的乙個重要作用是實現邊角餘弦定理亦可以寫成sin2a＝sin2b＋sin2c－2sinbsinccosa，類似地，sin2bsin2c注意式中隱含條件a＋b＋c＝π.
3．解斜三角形的型別
(1)已知三角形的任意兩個角與一邊，用定理．只有一解．
(2)已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，用定理，可能有如在△abc中，已知a，b和a時，解的情況如表：
(3)已知三邊，用定理．有解時，只有一解．
(4)已知兩邊及夾角，用定理，必有一解．
4．三角形中的常用公式或變式
(1)三角形面積公式s其中r，r分別為三角形外接圓、內切圓半徑．
(2)a＋b＋c＝π，則a
從而sina
cosatana
sincos
tantana＋tanb＋tanc
(3)若三角形三邊a，b，c成等差數列，則2b2sinb2sin＝cos2cos＝costantan＝.
【自查自糾】
1．(1)＝＝＝2r
(2)①2rsinb 2rsinc ②
③sina∶sinb∶sinc
2．(1)b2＋c2－2bccosa c2＋a2－2cacosb
a2＋b2－2abcosc a2＋b2
(2) > <
(3)互化 sin2c＋sin2a－2sincsinacosb
sin2a＋sin2b－2sinasinbcosc
3．(1)正弦 (2)正弦一解、兩解或無解
①一解 ②二解 ③一解 ④一解
(3)余弦 (4)余弦
4．(1) absinc bcsina acsinb (a＋b＋c)r
(2)π－(b＋c) －
sin(b＋c) －cos(b＋c)
－tan(b＋c) cos sin
tanatanbtanc (3)a＋c sina＋sinc
在△abc中，a>b是sina>sinb的( )
a．充分不必要條件
b．必要不充分條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要條件
解：因為在同一三角形中，角大則邊大，邊大則正弦大，反之也成立，故是充要條件．故選c.
在△abc中，已知b＝6，c＝10，b＝30°，則解此三角形的結果有( )
a．無解b．一解
c．兩解d．一解或兩解
解：由正弦定理知sinc＝＝，又由c>b>csinb知，c有兩解．也可依已知條件，畫出△abc，由圖知有兩解．故選c.
()設△abc的內角a, b, c所對的邊分別為a, b, c, 若bcosc＋ccosb＝asina, 則△abc的形狀為( )
a．銳角三角形b．直角三角形
c．鈍角三角形d．不確定
解：由已知和正弦定理可得sinbcosc＋sinccosb＝sina·sina，即sin(b＋c)＝sinasina，亦即sina＝sinasina.因為0 ()在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.
若a＝2，b＝，c＝2，則b
解：由餘弦定理知b2＝a2＋c2－2accosb＝22＋2－2×2×2×cos＝4，b＝2.故填2.
在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sinb＋cosb＝，則角a的大小為________．
解：∵sinb＋cosb＝，
∴sin＝，即sin＝1.
又∵b∈(0，π)，∴b＋＝，b＝.
根據正弦定理＝，可得sina＝＝.
∵a＜b，∴a＜b.∴a＝.故填.
△abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知a－c＝90°，a＋c＝b，求c.
解：由a＋c＝b及正弦定理可得sina＋sinc＝sinb.
又由於a－c＝90°，b＝180°－(a＋c)，故cosc＋sinc＝sina＋sinc＝sin(a＋c)＝sin(90°＋2c)＝sin2(45°＋c)．
∴sin(45°＋c)＝2sin(45°＋c)cos(45°＋c)，
即cos(45°＋c)＝.
又∵0°＜c＜90°，∴45°＋c＝60°，c＝15°.
【評析】利用正弦定理將邊邊關係轉化為角角關係，這是解此題的關鍵．
()在△abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知a＝，bsin－csin＝a.
(1)求證：b－c＝；
(2)若a＝，求△abc的面積．
解：(1)證明：對bsin－csin＝a應用正弦定理得sinbsin－sincsin＝sina，
即sinb－sinc＝，整理得sinbcosc－sinccosb＝1，即sin＝1.
由於b，c∈，∴b－c＝.
(2)∵b＋c＝π－a＝，又由(1)知b－c＝，
∴b＝，c＝.
∵a＝，a＝，∴由正弦定理知b＝＝2sin，c＝＝2sin.
∴s△abc＝bcsina＝×2sin×2sin×
＝sinsin＝cossin＝sin＝.
在△abc中，a，b，c分別是角a，b，c的對邊，且＝－.
(1)求b的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△abc的面積．
解：(1)由餘弦定理知，cosb＝，cosc＝，將上式代入＝－得
·＝－，
整理得a2＋c2－b2＝－ac.
∴cosb＝＝＝－.
∵b為三角形的內角，∴b＝π.
(2)將b＝，a＋c＝4，b＝π代入b2＝a2＋c2－2accosb，得13＝42－2ac－2accosπ，解得ac＝3.
正弦定理餘弦定理
假期作業文科正弦定理餘弦定理 6月24 6月25 1 在 abc中，a b分別是角a b所對的邊，條件 acos b 成立的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件 c 充要條件d 既不充分也不必要條件 2 在 abc中，角a b c的對邊分別為a b c，且a b 0 a 45 則滿足此條件的三角形...
37正弦定理和餘弦定理的應用
必備知識 仰角和俯角。在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角 如圖 典題例析 q1 2014 新課標全國卷 如圖，為測量山高mn，選擇a和另一座山的山頂c為測量觀測點 從a點測得m點的仰角 man 60 c點的仰角 cab 45 以...
3 5正弦定理和餘弦定理
第3章第5節 一 選擇題 1 文 2010 泰安模考 在 abc中，若a 60 bc 4，ac 4，則角b的大小為 a 30b 45 c 135d 45 或135 答案 b 解析 ac sin60 4 2 4 4，故 abc只有一解，由正弦定理得，sinb 4 4，b 理 在 abc中，角a b c...