§4球面餘弦定理和正弦定理
平面幾何中的三角形全等判定條件說明了平面三角形的唯一性，到了平面三角學，把這種唯一性定理提公升到有效能算的角邊函式關係。其中最基本的就是三角形的餘弦定理：設三角形 abc 的三條邊分別是 a 、 b 、 c ，它們的對角分別是 、 、 ，則
其中， 分別表示的余弦。
三角形的正弦定理：設三角形 abc 的三條邊分別是 a 、 b 、 c ，它們的對角分別是 、 、 ，則
。 類似地，球面三角形也有有效能算的邊角函式關係，其中最主要的結果就是球面三角的正弦定理和餘弦定理。
為證明球面三角餘弦定理，我們介紹有關向量的另一種乘積—外積。
兩向量a與b的外積是乙個向量，記做a×b，它的模是|a×b|=|a||b|(a,b),它的方向與a,b都垂直，並且按a,b,a×b這個順序構成右手標架。
對於向量的外積，有拉格朗日恒等式成立。
a×b）·(a』×b』)=(a·a』)·(b·b』)－(a·b』)·(b·a』)
定理4.1（球面三角餘弦定理）在單位球面上，對於任給球面三角形，其三邊和三角恆滿足下述函式關係
（證法一）證明：如圖4-1所示，
圖4-1
是單位球面上的三點，以a,b,c分別表示單位長向量,則球面三角形的三角角度和三邊邊長分別可以用空間向量a,b,c表達如下：
是b,c之間夾角的弧度，所以cos=b·c,同理有cos=a·c, cos=a·b。
是「a,b所張的平面」和「a,c所張的平面」之間的夾角，所以也等於a×b和a×c之間的夾角，即
（a×b）·(a×c)=| a×b|·|a×c|cosa=
同理亦有（b×c）·(b×a)=
（c×a）·(c×b)=
由（a×b）·(a×c)==cos－
所以同理可證
當單位球面上的球面三角形三邊都小於時，可以用平面三角餘弦定理證明球面三角餘弦定理。證明如下：
取球面三角形，將各頂點與球心o連線，過頂點a作b,c邊的切線，分別交oc,ob的延長線於n,m,由此得到兩個平面直角三角形和兩個平面三角形。在中，根據平面三角形的餘弦定理，有。
同理在中因此即
即即得同理可證
（證法2）證明：設球心為o，連線oa、ob、oc，則
。圖4-2
過點a做的切線交直線ob於d，過點a做的切線，交直線oc於e，連線de（如圖4-2所示）。
顯然，adao，aeao，在直角三角形oad中， ao=1，
ad=，
od=。
在直角三角形oae中，
ae=，
oe=。
注意。在三角形ode中，利用平面三角形的餘弦定理（定理3.1），
……（1）
在三角形ade中， ……（2）
因為（1）式與（2）式左端相等，所以右端也相等，經化簡整理，即得
。類似地可以得到另外兩式。
當三角形有乙個內角為直角時，比如，則由球面三角餘弦定理有 。這恰好是平面幾何中的勾股定理在球面幾何中的對應物，但形式上有了很大差別。我們稱之為球面勾股定理。
定理4.2（球面三角正弦定理）在單位球面上，對於任給球面三角形，其三邊和三角恆滿足下述函式關係
證明：因為上述三個比值都是正的，所以我們只要證明
恆成立。
由球面三角餘弦定理，得
同理可證，所以。
一般地，易證在半徑為r的球面上，對於任給球面三角形，其三邊和三角恆滿足下述函式關係
和當時，上述關係式會變成什麼形式呢？如圖，當時，球面三角形的三邊可以看作直線段，所以
,,所以,,
,,代入上述關係式，當時對式子取極限，整理得：
這恰好是平面三角餘弦定理和正弦定理。
在實際使用時，考慮到所給條件的不同及計算的方便，我們常常需要不同形式的球面三角公式，這些公式本質上都能以球面正弦定理和餘弦定理加以變換而得到。
前面通過研究極對偶三角形的關係我們證明了球面幾何中特有的全等條件aaa,在球面三角中有反映這一特有全等條件的三角公式。
定理4.3（角的余弦公式）在單位球面上，對於任給球面三角形，其三邊和三角恆滿足下述函式關係
證明：由的極對偶三角形的餘弦定理
利用上節定理3.1將中相應的元素代入上式即有
乘以－1，化簡得
同理可證其他兩式。
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