張景中、彭翕成所著《繞來繞去的向量法》和《仁者無敵面積法》。
如圖9，以△abc的三邊為邊長向外作三個正方形，，交ab於k。據說歐幾里德就是利用此圖形證明勾股定理的。易證(最好是將看作是旋轉而成)，進而可得；同理，所以直角三角形斜邊上的正方形面積等於兩直角邊上兩正方形面積之和。
此處還有乙個副產品：等價於，無需用到相似，輕鬆可得射影定理。
圖9圖10
假若不是直角三角形呢？如圖10，△abc的三高的延長線將三個正方形分為6個矩形，而且兩兩相等，，，，則，輕鬆可得餘弦定理。
例1：證明餘弦定理。
勾股定理只是對於直角三角形成立，很有必要將之推廣到一般三角形的情形，這樣在使用的時候才方便。在第一章中已經介紹了面積法證明餘弦定理了，下面再介紹三種面積證法。
證明勾股定理主要用到平移，而證明餘弦定理則可能需要用旋轉。
餘弦定理證明1：如圖1，將△abc繞點b旋轉乙個較小角度得到△dbe，則；由面積關係得，即，即
，化簡得。
圖1圖2
如果認為證法1較麻煩，也還有簡單的證法。
餘弦定理證明2：只要注意到，，立馬可得。
餘弦定理證明3：如圖3，在△abc中，設三邊長度為a，b，c，在ab邊上取點e，使得；在ab邊上取點d，使得；易得△aec∽△cdb∽△acb， ；由得
，化簡得。
圖3在作者所著《從數學教育到教育數學》一書中，還介紹了幾種用面積法證明餘弦定理的證法，有興趣的讀者可查閱。
在以上三種證法當中，證法2無疑是最美妙的，完全達到無字證明的境界。所謂無字證明，是指不用或用少量文字說明就能解釋一些數學定理。國外研究者甚多，稱之為proof without words。
我們現在要強調向量數量積的幾何意義：等於的長度與在方向上的投影的乘積。而，所以又可以等於：的長度與在方向上的投影的乘積。通俗說來，就是與，誰往誰身上靠都可以！
一些資料都指出了暗藏餘弦定理，但沒有進一步的研究。在實數運算中，我們容易構建圖形說明。在向量運算中，如何構造圖形說明呢？
如圖1，以△abc三邊的三邊為邊長向外作三個正方形，三高的延長線將三個正方形分為6個矩形，由得，即，同理，，則。
注意到j、c、a、l四點共圓，這說明向量數量積還暗藏圓冪定理。所以說，別小看，不是簡單交換順序那麼簡單，中間值得研究的東西多著呢！
圖1利用面積關係來說明數學中的某些恒等式、不等式，或證明某些定理，這是乙個古老而又年輕的方法。
說它古老，是因為：早在三千多年前，在幾何學還沒形成一門系統學科時，人們已經會用這種方法來解決某些問題了。
說它年輕，是因為：直到今天，人們並沒有給它足夠的重視，因為這種方法的潛力遠沒有得到發揮。它廣泛的、五花八門的用途，雖然已經逐步被各種競賽教材所吸收，但還很少在正式的教科書、教學參考書和各種學生讀物中得到系統的闡述。
幾何學的產生，源於人們對土地面積測量的需要。翻開任何一本關於數學史的通俗讀物，差不多都記載著這樣的故事：在古埃及，尼羅河每年定期氾濫。
洪水帶來了尼羅河肥沃的淤積泥土，這讓人們在乾旱的沙漠地區種植農作物提供了很好的條件。隨之也帶來了乙個問題，因為洪水在帶來肥沃土壤的同時，也抹掉了田地之間的界限標誌。洪水消退後，人們要重新畫出田地的界限，這就必須丈量和計算田地的面積。
年復一年，這就積累了最基本的幾何知識。
這樣看來，從一開始，幾何學就和面積結下不解之緣。英文中的「幾何」——「geometry」，這個單詞的字頭「geo-」，便含有土地的意思。
利用面積關係證明幾何定理，最早的例子是勾股定理的證明。勾股定理是幾何學中的一顆璀璨明珠，歷史悠久，證法繁多。千百年來對它的**從未停止過，人們不斷提出新的證法，其中有著名的數學家，也有業餘的數學愛好者；既有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家**。
圖1-1和圖1-2都是勾股定理的經典證明。圖1-1取自趙爽（三國時代人，生活於公元3世紀）注《周髀算經》（2023年宋版），此證法一般被稱為趙爽弦圖證法；圖1-2取自徐光啟、利瑪竇合譯的《幾何原本》，該證法一般被稱為歐幾里得證法。
圖1-1圖1-2
2023年8月20-28日，世界數學家大會在北京召開。大會所使用的會標就是趙爽弦圖(圖3)。
圖3圖4
勾股定理相當重要，被稱為是幾何學的基石。經過不斷探索研究，據說到現在，已經有400多種證法了，無疑成為數學中證法最多的定理
勾股定理被發現之後，數學家們除了不斷尋找新證法，也在尋找應用。
勾股定理的乙個直接應用就是希波克拉底發現了月牙定理。如圖4，直角三角形的面積等於兩個月牙面積之和。
就是這麼乙個簡單的圖形，掀起了很大的風波，誤導了很多數學愛好者。
月牙形是曲線形，直角三角形是直線形，直線和曲線是如此地不同，因此很容易使人產生錯覺，似乎直線形的面積是不可能等於曲線形的面積的。然而正是希波克拉底的這個月牙圖形，證明了直線形的面積是完全可能等於曲線形的面積的。這在當時，數學發展的初期，對開闊大家的眼界，有著極大的意義。
同時，月牙圖形的出現也讓很多數學研究者，包括希波克拉底在內，陷入了乙個死胡同，他們「堅信」化圓為方問題是可以實現的。其實，希波克拉底只是解決了化月牙形為方這一特殊情況，而該方法很難推廣解決直線形圖形和曲線形圖形等面積轉化的一般情況。
古代數學，不管是東方還是西方，都擅長用幾何圖形來說明問題。這可看作是無字證明（without words proof）的源頭。很大程度上，是由於當時代數研究很不系統，缺乏能夠方便使用的符號工具。
圖5是月牙定理的圖形證明，多個小**連在一起，生動再現了面積轉化的過程，十分直觀。如果利用現代資訊科技，譬如用超級畫板作成動畫形式，或以gif格式的動態**展示，則更有趣了。
圖5面積割補的證明大多可以如此處理。圖6和圖7也是將多幅小**連在一起，構成勾股定理的動畫證明。這兩種證明多次用到了等底等高平行四邊形面積相等。
圖6圖7
而化圓為方問題實質上等價於用直尺圓規作出線段π的問題。2023年，法國數學家林德曼證明了π是超越數，而尺規作圖所能完成的線段是代數數，所以化圓為方問題是尺規作圖所不能完成的。
但假若不受尺規作圖的限制，化圓為方問題並非難事。如圖8，將乙個半徑為的圓作一滾動，得到的正方形面積與之相等。設正方形的邊長為，根據射影定理可得。
圖8勾股定理證明很多，但多數來之不易， 可謂是古今中外數學愛好者集體智慧型的結晶。很多的巧證，都是冥思苦想而成。本書中，我們會給出兩種批量生成勾股定理證明方法，一種是拿兩個三角形拼擺，另一種則需借助計算機（見24章），所得證法之多，讓人驚訝。
如圖9，以△abc的三邊為邊長向外作三個正方形，，交ab於k。據說歐幾里德就是利用此圖形證明勾股定理的。易證(最好是將看作是旋轉而成)，進而可得；同理，所以直角三角形斜邊上的正方形面積等於兩直角邊上兩正方形面積之和。
此處還有乙個副產品：等價於，無需用到相似，輕鬆可得射影定理。
圖9圖10
假若不是直角三角形呢？如圖10，△abc的三高的延長線將三個正方形分為6個矩形，而且兩兩相等，，，，則，輕鬆可得餘弦定理。
若將圖10加以變化，深入**，還會有新的收穫。
如圖11，從點d出發向斜邊ab作垂線段。顯然可以從圖11中抽取出圖12，由作圖可知，易證，；由面積關係得化簡即得。
圖11圖12
這一證明應該引起我們的重視和反思。勾股定理研究的是直角三角形三邊之間的關係，這一關係與直角三角形的三邊上是否存在正方形無關，而長期以來我們卻不自覺地由數的方（平方）聯想到形的方（正方）。去掉正方形，從圖11中抽取出圖12，圖形顯得簡潔多了，其本質可看作是將△abc繞點c旋轉得到。
如果我們用動態的眼光看圖12，則會得到更多的證明。
考慮到看圖的習慣，首先將圖12轉變成圖13的形式，其本質是一樣的。如圖13，將rt△abc旋轉得到rt△cde，由得。（注意：
此處涉及凹四邊形面積計算，若一時不習慣，可多走一步：延長ab交de於k，則）
將圖13中的rt△cde平移，得到圖14，由得。
圖13圖14
將圖14中的rt△cdf再平移一點，得到圖15，由得。
圖15圖16
將圖13中的rt△cde平移，得到圖16。則，即。
將圖13中的rt△cde平移，得到圖17。圖17就是通常所說的**證法，也可看作是趙爽弦圖證法的取半。
圖17圖18
圖18是趙爽弦圖，此圖其實包含了勾股定理的兩種證法。把圖18中外部的正方形去掉得到圖19。對於圖19，常規的證明是，化簡得。
從另乙個角度來看，因為，所以，即。這一證明的好處就是無需用到平方和公式，小學生都能接受。
對於圖19，我們還可以這樣分析。，即
，即。圖19圖20
將圖19中的rt△agd平移一點，得到圖20，由得。
將圖20中的rt△rst再平移一點，使得s與c重合，得到圖13。這就說明歐幾里得證法和趙爽弦圖證法本質上都可以看作是兩個直角三角形拼擺而成，東西方兩種經典的證明由此聯絡，合為一體。
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