正弦(余弦)定理的另類證明
課本利用向量法證明正弦定理，本文來介紹的另外兩種證法.
正弦定理:在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即==.
證法1：（等積法）在任意斜三角形abc中,s△abc=，
兩邊同除以即得： ==.
點評：證法1主要利用了任意斜三角形面積可分別轉化為三角形不同邊與其對應高的乘積的.此證法體現了轉化與化歸的思想方法.
證法2：（外接圓法）如圖1所示，設o為△abc的外接圓的圓心，
連線co並延長交圓o於d，連線bd，則a=d，
所以,即.同理 =2r，＝2r.
故 ===2r(r為三角形外接圓半徑).
點評：證法2建立了三角形中的邊與對角、外接圓半徑三者之間的聯絡，這三者知二可求一，為正弦定理增添了新內容，體現了數形結合的思想.
小結：由以上證明過程，我們可以得到正弦定理的幾種變形形式：
1. a: b: c = sina : sinb :sinc ;
2. a=2rsina; b=2rsinb; c=2rsinc;
3. sina=;sinb=;sinc=. （其中r為△abc外接圓的半徑）
在解決三角形問題時，一定要根據問題的具體情況，恰當地選用公式.公式選擇得當、方法運用對路是簡化問題的必要手段．
餘弦定理是揭示三角形邊角關係的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識，則使用起來更為方便、靈活．
對於任意三角形三邊為a,b,c 三角為a,b,c 滿足性質
a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa
b^2=a^2+c^2-2*a*c*cosb
c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosc
cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab
cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc
證明：如圖：
∵a=b-c
∴a^2=(b-c)^2 （證明中前面所寫的a,b,c皆為向量，^2為平方）拆開即a^2=b^2+c^2-2bc
再拆開，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa
同理可證其他，而下面的cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是將cosa移到右邊表示一下。
平面幾何證法：
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所對的邊為c，∠b所對的邊為b，∠a所對的邊為a
則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
根據勾股定理可得：
ac^2=ad^2+dc^2
b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2
b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac
從餘弦定理和余弦函式的性質可以看出,
如果乙個三角形兩邊的平方和等於第三
邊的平方,那麼第三邊所對的角一定是直
角,如果小於第三邊的平方,那麼第三邊所
對的角是鈍角,如果大於第三邊,那麼第三邊
所對的角是銳角.即，利用餘弦定理，可以判斷三角形形狀。
同時，還可以用餘弦定理求三角形邊長取值範圍。
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