(時間：45分鐘滿分：100分)
一、選擇題(每小題7分，共35分)
1．如圖，設a、b兩點在河的兩岸，一測量者在a所在的同側河岸邊選定一點c，測出ac的距離為50 m，∠acb＝45°，∠cab＝105°後，就可以計算出a、b兩點的距離為( )
a．50 mb．50 m
c．25 md. m
2．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海浬的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續航行半小時後，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時( )
a．5海浬 b．5海浬 c．10海浬 d．10海浬
3．有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20°，現高不變，將傾斜角改為10°，則斜坡長為( )
a．1 b．2sin 10° c．2cos 10° d．cos 20°
4．(2010·天津)在△abc中，內角a，b，c的對邊分別是a，b，c.若a2 －b2＝bc，sin c＝2sin b，則a等於( )
a．30° b．60° c．120° d．150°
5．某人向正東方向走x km後，向右轉150°，然後朝新方向走3 km，結果他離出發點恰好是km，那麼x的值為( )
a. b．2 c. 或2 d．3
二、填空題
6．一船以每小時15 km的速度向東航行，船在a處看到乙個燈塔m在北偏東60°方向，行駛4 h後，船到b處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為______ km.
7．(2010·全國)在△abc中，d為bc邊上一點，bc＝3bd，ad＝，∠adb＝135°，若ac＝ab，則bd
8．在△abc中，角a、b、c所對應的邊分別為a、b、c，若角a、b、c依次成等差數列，且a＝1，b＝，則s△abc＝______.
9．在銳角△abc中，a，b，c分別為角a，b，c所對的邊，且a＝2csin a，則角c
三、解答題(共41分)
10．(13分)在△abc中，已知cos a＝.
(1)求sin2－cos(b＋c)的值；
(2)若△abc的面積為4，ab＝2，求bc的長．
11．(14分)如圖所示，海中小島a周圍38海浬內有暗礁，船向正南航行，在b處測得小島a在船的南偏東30°方向，航行30海浬後，在c處測得小島a在船的南偏東45°方向，如果此船不改變航向，繼續向南航行，有無觸礁的危險？
12．(14分)(2010·陝西)如圖，a，b是海面上位於東西方向相距5(3＋)海浬的兩個觀測點，現位於a點北偏東45°，b點北偏西60°的d點有一艘輪船發出求救訊號，位於b點南偏西60°且與b點相距20海浬的c點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海浬/時，該救援船到達d點需要多長時間？
答案 1．a
6．30 7．2＋ 8. 9.
10．解 (1)sin2－cos(b＋c)＝＋cos a＝＋＝.
(2)在△abc中，∵cos a＝，∴sin a＝.
由s△abc＝4，得bcsin a＝4，得bc＝10.∵c＝ab＝2，∴b＝5.
∴bc2＝a2＝b2＋c2－2bccos a＝52＋22－2×5×2×＝17.∴bc＝.
11．解在△abc中，bc＝30，∠b＝30°，
∠acb＝180°－45°＝135°，所以∠a＝15°.
由正弦定理，得＝，即＝，
所以ac＝＝15(＋)．
所以a到bc的距離為ac·sin 45°＝15(＋)×
＝15(＋1)≈15×(1.732＋1)＝40.98(海浬)．
這個距離大於38海浬，所以繼續向南航行無觸礁的危險．
12．解由題意知ab＝5(3＋)海浬，
∠dba＝90°－60°＝30°，∠dab＝90°－45°＝45°，
∴∠adb＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△dab中，由正弦定理，得＝，
∴db＝＝
＝＝＝10 (海浬)．
又∠dbc＝∠dba＋∠abc＝30°＋(90°－60°)＝60°，
bc＝20 (海浬)，
在△dbc中，由餘弦定理，得cd2＝bd2＋bc2－2bd·bc·cos ∠dbc
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴cd＝30(海浬)，
∴需要的時間t＝＝1(小時)．故救援船到達d點需要1小時．
正弦定理餘弦定理
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