正弦定理和餘弦定理
自主梳理
1. 正弦定理：＝＝＝2r，其中r是三角形外接圓的半徑.
由正弦定理可以變形為：(1)a∶b∶c＝sin a∶sin b∶sin c ；
(2)a＝2rsin a ，b＝2rsin b ，c＝2rsin c ；
(3)sin a＝，sin b＝，sin c＝等形式，以解決不同的三角形問題.
2.餘弦定理：a2＝ b2＋c2－2bccos a ，b2＝a2＋c2－2accos b ，
c2＝a2＋b2－2abcos c .
餘弦定理可以變形為：cos a＝，cos b＝，
cos c＝.
c＝bcsin a＝acsin b＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形內切圓的半徑)，並可由此計算r、r.
4．判斷三角形的形狀特徵
必須從研究三角形的邊角關係入手，充分利用正、餘弦定理進行轉化，即化邊為角或化角為邊，邊角統一．
①等腰三角形：a＝b或a＝b.
②直角三角形： b2＋c2＝a2 或 a＝90° .
③鈍角三角形： a2＞b2＋c2 或 a＞90
④銳角三角形：若a為最大邊，且滿足 a2＜b2＋c2 或a為最大角，且 a＜90° .
6．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即a＞ba＞bsina＞sinb.
基礎自測
1.在△abc中，若a＝60°，a＝，則
2.(2010·北京)在△abc中，若b＝1，c＝，c＝，則a
3.在△abc中，a＝15，b＝10，a＝60°，則cos b
4.△abc的三個內角a、b、c所對邊的長分別為a、b、c，已知c＝3，c＝，a＝2b，則b的值為________.
5.已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為
a.2b.8cd.
6．在△abc中，a、b、c分別為角a、b、c的對邊，若a、b、c成等差數列，b＝30°，△abc的面積為，則b
7．在△abc中，a，b，c分別為角a，b，c所對的邊，若a＝2bcosc，則此三角形一定是( )
a．等腰直角三角形 b．直角三角形
c．等腰三角形 d．等腰三角形或直角三角形
8．在△abc中，設命題p：＝＝，命題q：△abc是等邊三角形，則命題p是命題q的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
典例分析：
題型一利用正弦定理求解三角形及有關三角形中的三角函式的範圍(最值)
例1 在△abc中，a＝，b＝，b＝45°.求角a、c和邊c.
(2)在△abc中，a＝8，b＝60°，c＝75°，求邊b和c.
(2)設銳角三角形abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且a＝2bsina.
①求角b的大小；
②求cosa＋sinc的取值範圍．
題型二利用餘弦定理求解三角形
例2 在△abc中，a、b、c分別是角a、b、c的對邊，且＝－.
(1)求角b的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△abc的面積.
變式訓練 1．已知a、b、c分別是△abc中角a、b、c的對邊，且a2＋c2－b2＝ac.
(1)求角b的大小；
(2)若c＝3a，求tan a的值．
.題型三正、餘弦定理的綜合應用
例3 (2011·浙江)在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知sin a＋sin c＝psin b (p∈r)，且ac＝b2.
(1)當p＝，b＝1時，求a，c的值；
(2)若角b為銳角，求p的取值範圍.
變式訓練 1.在△abc中，內角a，b，c所對的邊長分別是a，b，c.
(1)若c＝2，c＝，且△abc的面積為，求a，b的值；
(2)若sin c＋sin(b－a)＝sin 2a，試判斷△abc的形狀.
2. abc的三個內角a，b，c所對的邊分別為a,b,c,asinasinb+bcos2a= a
若c2=b2+ a2求b.
題型四判斷三角形的形狀
一、判斷三角形的形狀
例1在△abc中，a、b、c分別是三內角a、b、c的對邊，已知2asina＝(2b＋c)sinb＋(2c＋b)sinc.
(1)求角a的大小；
(2)若sinb＋sinc＝1，試判斷△abc的形狀．
2. 設△abc的內角a、b、c的對邊長分別為a、b、c，
且3b2＋3c2－3a2＝4bc.
(1)求sin a的值；
(2)求的值．
方法與技巧
1．在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有可能出現一解、兩解或無解的情況，應結合圖形並根據「三角形中大邊對大角」來判斷解的情況，作出正確取捨．
2.應熟練掌握和運用內角和定理：a＋b＋c＝π，＋＋＝中互補和互餘的情況，結合誘導公式可以減少角的種數.
3.根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，
過手訓練
一、選擇題
1．在△abc中，角a、b、c所對的邊分別為a，b，c.若acosa＝bsinb，則sinacosa＋cos2b＝( )
a．－ b. c．－1 d．1
2.在△abc中，a，b，c分別為角a，b，c所對的邊，若a＝2bcos c，則此三角形一定是
a.等腰直角三角形 b.直角三角形
c.等腰三角形 d.等腰三角形或直角三角形
3.在△abc中，若∠a＝60°，b＝1，s△abc＝，則的值為( )
ab. cd.
4.若△abc的內角a、b、c滿足6sina＝4sinb＝3sinc，則cosb＝( )
abcd.
5.若△abc的內角a、b、c所對的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝4且c＝60°，則ab的值為( )
ab．8－4c．1d.
二、填空題
6.在△abc中，若b＝5，∠b＝，sin a＝，則a＝
7.若△abc的面積為，bc＝2，c＝60°，則邊ab的長度等於.
8.在△abc中，若ab＝，ac＝5，且cos c＝，則bc＝________
9．已知△abc的乙個內角為120°，且三邊長構成公差為4的等差數列，則△abc的面積為
課後習題
10．已知△abc的三個內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，a是銳角，且b＝2a·sin b.
(1)求a；
(2)若a＝7，△abc的面積為10，求b2＋c2的值.
11．在△abc中，內角a、b、c的對邊長分別為a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sin b＝4cos asin c，求b.
12．在△abc中，a，b為銳角，角a，b，c所對應的邊分別為a，b，c，且cos2a＝，sinb＝. (1)求a＋b的值；
(2)若a－b＝－1，求a，b，c的值．
13．在△abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cosb＝，△abc的周長為5，求b的長．
正弦定理餘弦定理
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3 5正弦定理和餘弦定理
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