課題課型
知識目標能力目標情感目標
新授課正、餘弦定理編定人：管玉秀
總課時數執教時間
教學目標
掌握正，餘弦定理的兩種表示形式及證明餘弦定理的向量方法，並會運用餘弦定理解決兩類基本的解三角形問題。
利用向量的數量積推出正餘弦定理及其推論，並通過實踐演算掌握運用正，餘弦定理解決兩類基本的解三角形問題
培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函式、餘弦定理、向量的數量積等知識間的關係，來理解事物之間的普遍聯絡與辯證統一。正，餘弦定理的發現和證明過程及其基本應用；勾股定理在餘弦定理的發現和證明過程中的作用。**學習，學案導學
教學過程
教學手段
彩筆，三角板
師生活動
積極調動學生**的興趣。
引導學生從向量方面入手，討論交流，進一步體會利用向量解決問題的方便。
重點難點教學方法
學情分析：定理以學生**為主，注重啟發誘導，上課要積極鼓勵學生，提高學生學習興趣。要充分積累方法，注重解的情況分析，總結規律，逐步提高。
教會學生思考問題的方法，規範化訓練要求嚴格化，分層要求作業，引導好學生積極參與，循序漸進的提高。通過題目及時**結論與要求，教會學生運算技能，精彩一練以後強化，難度不大。
一、新知**
（一）利用向量如何在三角形的邊長與三角函式建立聯絡？
在銳角abc中，過a作單位向量j垂直於角
為90-a
ac，則有j與ab的夾
,j與cb
的夾角為
90-c
,等式accbab,jaccbjab
jaccos90+jcbco（s90-c）=jabco（s90-a）
sinc
同理，過c作單位向量j垂直於cb，可得
asinccsina,即
asinac,
bsinb
csinc
asina
bsinb
csinc
在鈍角abc中，過a作單位向量j垂直於
ac，則有j與ab的夾
角為a-90，j與cb的夾角為90-c.等式accbab,
同樣可證得
asina
bsinb
acsinc
b正弦定理：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
sina
sinb
csinc
[理解定理]
（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例係數
1為同一正數，即存在正數k使aksina，bksinb，cksinc；
abcabcb
（2）等價於，，
sinasinbsincsinasinbsincsinb
引導學生歸納**，培養學生自ac
學能力。sinasinc
（二）聯絡已經學過的知識和方法，可用什麼途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發現因a、b均未知，所以較難求邊c。由於涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。
如圖1．1-5，設cba，，abc，那麼cab，則a
bcab
討論，交流，加深學生對新學的(圖1．1-5)
2餘弦定理的理解。cccababaabb2ab22ab2ab
222從而cab2abcosc
同理可證a2b2c22bccosa,b2a2c22accosb.
餘弦定理：三角形中任何一邊的平方等於其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即
222222222
abc2bccosa,bac2accosb,cab2abcosc.
思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從餘弦定理，又可得到以下推論：
222222222
bcaacbbac
cosacosbcosc
2bc2ac2ba,,
[理解定理]
從而知餘弦定理及其推論的基本作用為：①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關係，餘弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關係，如何看這兩個定理之間的關係？
（由學生總結）若abc中，c=900，則cosc0，這時c2a2b2
由此可知餘弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是餘弦定理的特例。二、典例分析
2通過典型例題，培養學生解決問題的能力
分析：正弦定理可以用於解決已知兩角和一邊，求另兩邊和一角的問題解：
例2．在abc中，已知a23，c62，b600，求⑴b,⑵a.
⑴解：∵b2a2c22accosb
=(23)2(62)2223(62)cos450
=12(62)243(31)
=8∴b22.
注：求a可以利用餘弦定理，也可以利用正弦定理：思考：有幾種方法？
222222
bca(22)(62)(23)1
,⑵解法一：∵cosa
2bc2222(62)
∴a600.
a230
解法二：∵sinasinbsin45,又∵62＞2.41.43.8,
b2200
23＜21.83.6,∴a＜c，即0＜a＜90,
∴a600.
評述：解法二應注意確定a的取值範圍。練習:第8頁第1（1）、2（1）題。
2例3．在abc中，bca，acb，a,b是方程x23x20的兩個根，且2cos(ab)1，求：①角c的度數；②ab的長度；③sabc．
培養學生自學能力。
鞏固提高。
三、歸納總結
1）正，餘弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是余弦
定理的特例；
（2）正，餘弦定理的應用範圍：
四、作業設計
①課後閱讀：課本第9頁[**與發現]
②課時作業：
62，求a。（1）在△abc中，若_a3,b2,c
2例1．在abc中，a30，c105，a10，求b，c。
3222
五、精彩一練
abcbc8b30c45b1、在中，已知，，，則
c2、在abc中，如果a30，b120，b12，那麼
aabc的面積是
15練習鞏固（2）在△abc中，若acos2c
ccos2a
3b，求證：ac2b。
3、在abc中，bc30，
4、在abc中，若a2
sabc23
，則a____．
bcbc
22，求角a。22
25、用餘弦定理證明：在abc中，當c為銳角時，abc；當c為鈍角時，abc．22
2dc6、如圖，在四邊形abcd中，已知adcd,
ad10，ab14,bda60,bcd135，求bc的長．
a7、在abc中，已知(bc):(ca):(ab)4:5:6，求abc的最大內角；
b8、已知abc的兩邊b,c是方程x2kx400的兩個根，三角形的面積是103cm，周長是20cm，試求a及k的值；六、板書設計
課題正，餘弦定理推導例1例3
正，餘弦定理
例2練習
七、預習提綱
參照學案預習題綱425
應用向量法證明正 餘 弦定理
維普資訊 江蘇省泰州市森南新村 棟 室 于志洪 向量法是一種解析方法，此法在證幾何題時，貝 口 一 由於具有幾何的直觀性，表述的簡潔性和處理方法 口 一 的一般性，因此對於數學知識的融匯貫通很有幫 口 一 助 證明 如圖 在已知現僅就著名的正 餘 弦定理的向量證明進行 的三邊 和 介紹，供高二學生學...
正餘弦定理
正弦定理，餘弦定理 1 已知兩角和任一邊，求其他兩邊和角 在中,已知，求 2 已知兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角 的內角a,b,c的對邊分別為,若,則等於 a.b.c.d.3 齊次式中 在中，求的內角的度數 4 解題時注意三角形內角和為，在三角形中，大邊對大角 1 在中，角...
正餘弦定理
課題 1 1 1正弦定理 授課型別 新授課 教學目標 知識與技能 通過對任意三角形邊長和角度關係的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法 會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法 讓學生從已有的幾何知識出發,共同 在任意三角形中，邊與其對角的關係，引導學生通過觀察，推導，比...