平面向量題型歸納（全）
題型一：共線定理應用
例一：平面向量共線的充要條件是（ ）a.方向相同 b.兩向量中至少有乙個為零向量 c.存在 d存在不全為零的實數
變式一：對於非零向量，「」是「」的（ ）
a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件
變式二：設是兩個非零向量（ ）
a.若則 b. 若，則 c. 若，則存在實數，使得 d若存在實數，使得，則
例二：設兩個非零向量，不共線，
（1）如果
（2）如果求實數k的值。
變式一：設兩個不共線向量，若三點a,b,d共線，求實數k的值。
變式二：已知向量，且則一定共線的三點是（ ）
a.a,b,d b.a,b,c c.b,c,d d.a,c,d
題型二：線段定比分點的向量形式在向量線性表示中的應用
例一：設p是三角形abc所在平面內的一點，則（ ）
a. b. c. d.
變式一：已知o是三角形abc所在平面內一點，d為bc邊的中點，且,那麼（ ）a. b. c. d.
變式二：在平行四邊形abcd中，，,m為bc的中點，則( 用表示)
例二：在三角形abc中，，,若點d滿足,則( )
a. b. c. d.
變式一：(高考題) 在三角形abc中，點d在邊ab上，cd平分角acb,，, ,則( )
a. b. c. d.
變式二：設d,e,f分別是三角形abc的邊bc,ca,ab上的點，且則與( )
a.反向平行 b. 同向平行 c.互相垂直 d.既不平行也不垂直
變式三：在平行四邊形abcd中，e和f分別是邊cd和bc的中點，若,其則=
變式四：在平行四邊形abcd中，ac與bd交於點o,e是線段od的中點，ae的延長線與cd交於點f，若則( )a. b. c. d.
題型三：三點共線定理及其應用
例一：點p在ab上，求證：且=1（）
變式：在三角形abc中，點o是bc的中點，過點o的直線分別交直線ab、ac於不同的兩點m和n,若則m+n=
例二：在平行四邊形abcd中，e,f分別是bc,cd的中點，de與af交於點h,設則
a. b. c. d.
變式：在三角形abc中，點m是bc的中點，點n是邊ac上一點且an=2nc,am與bn相交於點p,若求的值。
題型四： 向量與三角形四心
一、 內心
例一：o是abc所在平面內一定點，動點p滿足，則點p的軌跡一定通過abc的（ ）a.外心 b.內心 c.重心 d.垂心
變式一：已知非零向量與滿足，且，則abc為（ ）
a. 等邊三角形 b. 直角三角形 c. 等腰非等邊三角形 d.三邊均不相等的三角形
變式二： p為abc的內心
二、重心
例一：o是abc內一點，，則為abc的（ ）a.外心b.內心c.重心 d.垂心
變式一：在abc中，g為平面上任意一點，證明： o為abc的重心
變式二：在abc中，g為平面上任意一點，若o為abc的重心
三垂心：
例一：求證：在abc中， o為abc的垂心
變式一：o是平面上一定點，a，b，c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則點p的軌跡一定通過abc的（ ）
a.外心 b.內心 c.重心 d.垂心
四外心例一：若o是abc的外心，h是abc的垂心，則
變式一：已知點o，n，p在abc所在平面內，且，，則o，n，p依次是abc的（ ）
a. 重心、外心 、垂心 b. 重心、外心 、內心 c. 外心 、重心、垂心 d. 外心 、重心、 內心
題型五：向量的座標運算
例一：已知a(-2,4),b(3，-1)，c(-3，-4)，且,試求點m,n和的座標。
變式一：已知平面向量其中t和k 為不同時為零的實數，（1）若，求此時k和t滿足的函式關係式k=f(t);(2)若，求此時k和t滿足的函式關係式k=g(t).
變式二：平面內給定3個向量，回答下列問題。（1）求；（2）求滿足的實數m,n;(3)若，求實數k；（4）設且，求。
題型六：向量平行（共線）、垂直充要條件的座標表示
例一：已知兩個向量,當實數k取何值時，向量與平行？
變式一：設向量a,b滿足|a|=，b=（2,1），且a與b反向，則a座標為_________
例二：已知向量且a,b,c三點共線，則k=（ ）
a: b: c: d:
變式一：已知且a//b，則銳角α為
變式二：△abc的三內角a,b,c所對邊的長分別為a,b,c 設向量若，則∠c的大小為（ ）
a: b: c: d:
題型七：平面向量的數量積
例一：（1）在rt△abc中，∠c=90°，ac=4，則（ ）a：-16 b:-8 c:8 d:16
（2）(高)已知正方形abcd的邊長為1，點e是ab邊上的動點，則的值為______；的最大值為_______
（3）在△abc中，m是bc中點，am=1，點p在am上滿足，則等於（ ）
a: b: c: d:
變式一：(高) 如圖所示，平行四邊形abcd中，ap⊥bd，垂足為p，且ap=3，則=_______
變式二：在△abc中，ab=1，bc=，ac=，若o為△abc的重心，則的值為________
例二：(高)在矩形abcd中，ab=,bc=2,點e為bc的中點，點f在邊cd上，若,則的值是
變式一：(高)在△abc中，, ,ac=2.設點p,q滿足,若,則=（ ）a: b: c: d:2
例三：已知向量滿足則
變式一：在△abc中，若則
變式二：已知向量滿足則
變式三：已知向量滿足則
題型八：平面向量的夾角
例一：已知向量則的夾角是
例二：已知是非零向量且滿足則的夾角是
變式一：已知向量滿足則的夾角是
變式二：已知是非零向量且滿足則的夾角是
變式三：若向量不共線，則的夾角是
變式四：(高) 若向量滿足且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為０.５，則的夾角的取值範圍是
例二：已知，的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的的取值範圍。
變式一：設兩個向量，滿足，的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，求實數t的範圍。
變式二：已知均為單位向量，其夾角為，有下列4個命題：
其中的真命題是（ ）a. b. c. d.
題型九：平面向量的模長
例一：已知，向量的夾角為，求，。
變式一：已知向量滿足，則=
變式二：已知向量滿足的夾角為，則=
變式三：在△abc中，已知求.
例二：已知向量的夾角為，則=
變式一：(高) 已知向量的夾角為，且則=
變式二：設點m是線段bc的中點，點a在直線bc外，,=,則
變式三：已知向量，若則
例三：已知向量，滿足，且的取值範圍是
變式一：已知單位向量，且，的最大值為
變式二：(高)已知直角梯形abcd中，ad//bc, ,ad=2，bc=1，p是腰dc上的動點，則的最小值為
題型十：平面向量在三角函式中的應用
例一：在△abc中，a,b,c所對邊的長分別為a,b,c，已知向量，且滿足
（1）求a的大小
（2）求的值
變式一：已知變數，函式
（1）求f(x)解析式
（2）求f(x)的單調遞增區間
（3）如果△abc的三邊a,b,c滿足，且b邊所對的角為x，試求x的範圍和此時f(x)的值域
變式二：已知向量
（1）求證a·b及|a+b|
（2）定義f(x)=a·b-2m|a+b|,若函式f(x)的最小值為，求實數m的值
變式三：在三角形abc中，已知
（1） 求證
（2）若，求a的值
正餘弦定理
正弦定理，餘弦定理 1 已知兩角和任一邊，求其他兩邊和角 在中,已知，求 2 已知兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角 的內角a,b,c的對邊分別為,若,則等於 a.b.c.d.3 齊次式中 在中，求的內角的度數 4 解題時注意三角形內角和為，在三角形中，大邊對大角 1 在中，角...
正餘弦定理
課題 1 1 1正弦定理 授課型別 新授課 教學目標 知識與技能 通過對任意三角形邊長和角度關係的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法 會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法 讓學生從已有的幾何知識出發,共同 在任意三角形中，邊與其對角的關係，引導學生通過觀察，推導，比...
正餘弦定理
知識梳理 1.正弦定理 2.三角形面積公式 3.餘弦定理 典型例題 1.abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若c b b 120 則a等於 ab 2 cd.2.在 abc中，a，b，c分別是角a，b，c所對的邊 若a b 1，abc的面積為，則a的值為 a 1b 2 cd.3.abc的三內...