專題：正弦定理和餘弦定理
考點集結
一、正弦定理和餘弦定理
1、正弦定理和餘弦定理
注：在δabc中，sina>sinb是a>b的充要條件。（∵sina>sinba>ba>b）
二、應用舉例
1、實際問題中的常用角
（1）仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下文的叫俯角（如圖①）
（2）方位角
從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如b點的方位角為α（如圖②）
注：仰角、俯角、方位角的區別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對於水平線而言的，而方位角是相對於正北方向而言的。
（3）方向角：相對於某一正方向的水平角（如圖③）
①北偏東即由指北方向順時針旋轉到達目標方向；
②北偏本即由指北方向逆時針旋轉到達目標方向；
③南偏本等其他方向角類似。
（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）
坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，為坡比）
2、δabc的面積公式
（1）；
（2）；
（3）。
考點一：正弦定理、餘弦定理的簡單應用
〖例1〗（11浙江文）在中，角所對的邊分.若，則（ ）
ab． c． -1 d． 1
答案：d
在△abc中，，則a的取值範圍是
（abcd）
答案：c
解析：由得，即，
∴，∵，故，選c．
考點二：利用正弦定理、餘弦定理判斷三角形的性狀及求取值範圍
〖例2〗（1）（10上海文）若△的三個內角滿足則△
a．一定是銳角三角形. b．一定是直角三角形.
c．一定是鈍角三角形. d．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.
解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由餘弦定理得，所以角c為鈍角
（2）在銳角△abc中，bc＝1，b＝2a，則的值等於______，ac的取值範圍為________．
解析：由正弦定理得＝. 即＝.∴＝2.
∵△abc是銳角三角形，
∴0＜a＜，0＜2a＜，0＜π－3a＜，解得＜a＜.
由ac＝2cosa得ac的取值範圍為(，)． 答案：2 (，)
1、在△abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，＜c＜且＝
(1)判斷△abc的性狀；
(2)若|＋|＝2，求·的取值範圍．
解：(1)由＝及正弦定理得sinb＝sin2c，
∴b＝2c，且b＋2c＝π，
若b＝2c，＜c＜，∴π＜b＜π，b＋c＞π(舍)；
∴b＋2c＝π，則a＝c，∴△abc為等腰三角形．
(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosb＝4，
∴cosb＝(∵a＝c)，
而cosb＝－cos2c，＜c＜，
∴＜cosb＜1，
∴1＜a2＜，
又·＝accosb＝2－a2，∴·∈(，1)．
2、在△abc中，cos2＝，(a，b，c分別為角a，b，c的對邊)，則△abc的形狀為
a．正三角形b．直角三角形
c．等腰三角形或直角三角形 d．等腰直角三角形
解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosb＝，
∴＝， ∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，
∴△abc為直角三角形． 答案：b
考點三：利用正餘弦定理求三角形的面積
〖例3〗（2009浙江文）在中，角所對的邊分別為，且滿足，．
（i）求的面積；
（ii）若，求的值．
解析：（ⅰ） w.w 又，，而，所以，所以的面積為：
（ⅱ）由（ⅰ）知，而，所以
所以1、在中，角所對的邊分別為，且滿足，．
（i）求的面積；
（ii）若，求的值．
解 （1）因為，，又由
得，（2）對於，又，或，由餘弦定理得
，2、在abc中，sin(c-a)=1, sinb=。
（i）求sina的值；
(ii)設ac=，求abc的面積。
本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關知識，考查運算求解能力。本小題滿分12分解：（i）由知。
又所以即
故(ii)由（i）得：
又由正弦定理，得：
所以考點四：利用正餘弦定理求角
〖例4〗（2011屆稽陽聯考）如右圖，在△中，為邊上一點，，．
（1）求的大小；
（2）當時，求的值．
解：（1） 由已知， …………………1分
…………………2分
…………3分
…………………5分
7分（2）（1）…………………9分
（2）………………11分
14分（2010山東文）在中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若，,,則角a的大小為
【解析】由得，即，因為，所以，又因為，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。
考點五：正餘弦定理實際應用問題
〖例5〗（本小題滿分12分）如圖，a，b是海面上位於東西方向相距5(3＋)海浬的兩個觀測點，現位於a點北偏東45°，b點北偏西60°的d點有一艘輪船發出求救訊號，位於b點南偏西60°且與b點相距20海浬的c點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海浬/時，該救援船到達d點需要多長時間？
解由題意知ab＝5(3＋)海浬，
∠dba＝90°－60°＝30°，∠dab＝90°－45°＝45°，
∴∠adb＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△dab中，由正弦定理，得＝，
∴db＝＝
＝＝＝10 (海浬)．
又∠dbc＝∠dba＋∠abc＝30°＋(90°－60°)＝60°，bc＝20 (海浬)，
在△dbc中，由餘弦定理，得cd2＝bd2＋bc2－2bd·bc·cos ∠dbc
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴cd＝30(海浬)，
∴需要的時間t＝＝1(小時)．故救援船到達d點需要1小時．
一船向正北航行，看見正西方向有相距10海浬的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續航行半小時後，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時
a．5海浬b．5海浬 c．10海浬d．10海浬
解析：如圖所示，設a、b為相距10海浬的燈塔，半小時後這艘船到達s點，
則∠asb＝75°－60°＝15°，∠sbo＝30°，∴∠sab＝15°，
即ab＝bs＝10，∴so＝sb＝5，
設船的速度為v，則v＝5，∴v＝10. 答案： c
【當堂應用】
1.(2023年高考寧夏卷文科16)在中，d為bc邊上一點，,,.若,則bd=_____【答案】
2.（ 2023年高考全國ⅰ卷文科14）已知為第二象限的角，,則
【命題意圖】本小題主要考查三角函式值符號的判斷、同角三角函式關係、和角的正切公式,同時考查了基本運算能力及等價變換的解題技能.
【解析】因為為第二象限的角,又, 所以，,所
3.（2023年高考全國卷ⅱ文科13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，則cos
【解析4.設△abc的內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且atanb＝，bsina＝4.
(1)求cosb和a；
(2)若△abc的面積s＝10，求cos4c的值．
解：(1)由bsina＝4，得asinb＝4， 又atanb＝，∴cosb＝.
又由atanb＝知tanb>0，則sinb＝，tanb＝，故a＝5.
(2)由s＝acsinb，得c＝5，∴a＝c.
由cos4c＝2cos22c－1＝2cos2(a＋c)－1＝2cos2b－1＝2×()2－1＝－.
5、設的內角、、的對邊長分別為、、，，，求。 09全國卷7頁
分析：由，易想到先將代入得。然後利用兩角和與差的余弦公式展開得；又由，利用正弦定理進行邊角互化，得，進而得.
故。大部分考生做到這裡忽略了檢驗，事實上，當時，由，進而得，矛盾，應捨去。
也可利用若則從而捨去。不過這種方法學生不易想到。
6、如圖，一架直公升飛機的航線和山頂在同乙個鉛直平面內，已知飛機的高度為海拔10千公尺，速度為180千公尺/小時，飛行員先看到山頂的俯角為30°，經過2分鐘後又看到山頂的俯角為75°，求山頂的海拔高度。
解：在△abp中，∠bap=30°，∠apb=75°－30°=45°
根據正弦定理，，，
所以，山頂p的海拔高度為（千公尺）
解三角形1 1正弦定理和餘弦定理知識點總結
1 三內角和為180 2 兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。3 面積公式 s absinc 2r2sinasinbsinc 4 三角函式的恒等變形。二 題型使用餘弦定理解三角形共有三種現象的題型 題型1 利用餘弦定理公式的原型解三角形 題型2 利用餘弦定理公式的變形 邊角互換 解三角形 凡在同...
三角函式 解三角形第6講正弦定理和餘弦定理
第6講正弦定理和餘弦定理 高考會這樣考 1 考查正 餘弦定理的推導過程 2 考查利用正 餘弦定理判斷三角形的形狀 3 考查利用正 餘弦定理解任意三角形的方法 複習指導 1 掌握正弦定理和餘弦定理的推導方法 2 通過正 餘定理變形技巧實現三角形中的邊角轉換，解題過程中做到正餘弦定理的優化選擇 基礎梳理...
第十一課解三角形 正弦 余弦 定理 含答案
第十二講解三角形 正弦 余弦 定理 含答案 一 選擇題 1 2018全國卷 在中，則 abcd 2 2018全國卷 的內角，的對邊分別為，若的面積為，則 abcd 3 2017山東 在中，角，的對邊分別為，若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是 a b cd 4 2016年天津 在中，若，3，則...