三角形中位線定理是平面幾何中十分重要的定理，它說明中位線的位置與第三邊平行，長度是第三邊的一半，應用它可解許多幾何命題，如：
1．證明線段的倍分關係
例1 如圖1，ad是△abc的中線，e為ad的中點，be交ac於f．
證明：取cf的中點h，連線dh，則dh為△cbf的中位線，ef為△adh的中位線，故dh=bf，ef=dh.
2．證明兩線平行
例2 如圖2，自△abc的頂點a向∠b和∠c的平分線作垂線，d、e為垂足．求證de∥bc．
證明延長ad、ae交bc與cb的延長線於m、n．
由∠1=∠2，bd⊥am，可得ad=dm；同理可得ae=en．故de為△anm的中位線．
∴de∥mn，即de∥bc
3．證線段相等
例3 如圖3，d、e分別是△abc的邊ab、ac上的點，且bd=ce，m、n分別為be、cd的中點，直線mn分別交ab、ac於p、q．求證ap=aq
證明取bc中點f，連線mf與nf．
∵bm=me，bf=fc．
同理可得nf∥bd，且
又bd=ce，∴mf=nf，故∠3=∠4，
又∠1=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠2，故ap=aq．
4．證兩角相等
例4 如圖4，在△abc中，m、n分別在ab、ac上，且bm=cn，d、e分別為mn與bc的中點，ap∥de交bc於p．
求證：∠bap=∠cap．
證明連線bn並取中點q，連線dq與eq，則dq∥bm，且dq=bm，eq∥cn，且eq=cn，又bm=cn.
∴dq=eq，故∠1=∠2，
又 ∵∠1=∠bap，∠2=∠cap，
∴∠bap=∠cap．
5．證比例式
例5 如圖5，ad為△abc的中線，過點c的任一直線與ad、ab分別相交於e與f，求證：
6．求值
例6 如圖6，正方形abcd的對角線相交於e，∠cad的平分線交de於g，交dc於f，若eg=6.5，則cf=( )．
∵∠3=∠2+∠5=∠2+∠6
=∠1+∠7=∠4．
∴ pe=eg．
∴cf=2pe=2eg=2×6.5=13．
7．求線段比
例7 如圖7，平行四邊形abcd的對角線相交於點o，f為bc上一點，且，則（ ）
解延長df至g，使eg=de，連線bg，則oe為△dbg的中位線，
∴ao∶oe∶ec=5∶3∶2．
由以上幾例不難看出，當有中點這一條件時，設法構造三角形中位線，然後利用三角形中位線性質證題，這是一種常用的解題技巧．
三角形中位線定理教學案
方法一 見教材p55 56 利用旋轉的知識 方法二 延長ef至g，使fg ef,鏈結cg.你還能用其它的方法證明嗎 適用範圍 根據題目的需要，靈活運用 證明兩直線平行問題 證明兩條線段的倍分關係問題。5 思考 由三條中位線組成的三角形周長與原三角形的周長有何關係？面積呢？6 定理的應用 自學教材p5...
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