高中數學競賽講義（三）
──函式
一、基礎知識
定義1 對映，對於任意兩個集合a，b，依對應法則f，若對a中的任意乙個元素x，在b中都有唯一乙個元素與之對應，則稱f: a→b為乙個對映。
定義2 單射，若f: a→b是乙個對映且對任意x, y∈a, xy, 都有f(x)f(y)則稱之為單射。
定義3 滿射，若f: a→b是對映且對任意y∈b，都有乙個x∈a使得f(x)=y，則稱f: a→b是a到b上的滿射。
定義4 一一對映，若f: a→b既是單射又是滿射，則叫做一一對映，只有一一對映存在逆對映，即從b到a由相反的對應法則f-1構成的對映，記作f-1: a→b。
定義5 函式，對映f: a→b中，若a，b都是非空數集，則這個對映為函式。a稱為它的定義域，若x∈a, y∈b，且f(x)=y（即x對應b中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。
集合叫函式的值域。通常函式由解析式給出，此時函式定義域就是使解析式有意義的未知數的取值範圍，如函式y=3-1的定義域為.
定義6 反函式，若函式f: a→b（通常記作y=f(x)）是一一對映，則它的逆對映f-1: a→b叫原函式的反函式，通常寫作y=f-1(x).
這裡求反函式的過程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然後將x, y互換得y=f-1(x)，最後指出反函式的定義域即原函式的值域。例如：
函式y=的反函式是y=1-(x0).
定理1 互為反函式的兩個函式的圖象關於直線y=x對稱。
定理2 在定義域上為增（減）函式的函式，其反函式必為增（減）函式。
定義7 函式的性質。
（1）單調性：設函式f(x)在區間i上滿足對任意的x1, x2∈i並且x1< x2，總有f(x1)f(x2))，則稱f(x)在區間i上是增（減）函式，區間i稱為單調增（減）區間。
（2）奇偶性：設函式y=f(x)的定義域為d，且d是關於原點對稱的數集，若對於任意的x∈d，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函式；若對任意的x∈d，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函式。奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱。
（3）週期性：對於函式f(x)，如果存在乙個不為零的常數t，使得當x取定義域內每乙個數時，f(x+t)=f(x)總成立，則稱f(x)為週期函式，t稱為這個函式的週期，如果週期中存在最小的正數t0，則這個正數叫做函式f(x)的最小正週期。
定義8 如果實數aa}記作開區間（a, +∞），集合記作半開半閉區間（-∞,a].
定義9 函式的圖象，點集稱為函式y=f(x)的圖象，其中d為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函式y=f(x)的圖象與其他函式圖象之間的關係(a,b>0)；（1）向右平移a個單位得到y=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個單位得到y=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個單位得到y=f(x)-b的圖象；（4）與函式y=f(-x)的圖象關於y軸對稱；（5）與函式y=-f(-x)的圖象關於原點成中心對稱；（6）與函式y=f-1(x)的圖象關於直線y=x對稱；（7）與函式y=-f(x)的圖象關於x軸對稱。
定理3 復合函式y=f[g(x)]的單調性，記住四個字：「同增異減」。例如y=, u=2-x在（-∞,2）上是減函式，y=在（0，+∞）上是減函式，所以y=在（-∞,2）上是增函式。
注：復合函式單調性的判斷方法為同增異減。這裡不做嚴格論證，求導之後是顯然的。
二、方法與例題
1．數形結合法。
例1 求方程|x-1|=的正根的個數.
【解】 分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有乙個正根。
例2 求函式f(x)=的最大值。
【解】 f(x)=，記點p(x, x?2)，a（3，2），b（0，1），則f(x)表示動點p到點a和b距離的差。
因為|pa|-|pa|≤|ab|=,當且僅當p為ab延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立。
所以f(x)max=
2.函式性質的應用。
例3 設x, y∈r，且滿足，求x+y.
【解】 設f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增。事實上，若a0，所以f(t)遞增。
由題設f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4 奇函式f(x)在定義域（-1，1）內是減函式，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值範圍。
【解】 因為f(x)是奇函式，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設f(1-a)又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-1<1-a例5 設f(x)是定義在（-∞，+∞）上以2為週期的函式，對k∈z, 用ik表示區間(2k-1, 2k+1]，已知當x∈i0時，f(x)=x2，求f(x)在ik上的解析式。
【解】 設x∈ik，則2k-1所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因為f(x)是以2為週期的函式，
所以當x∈ik時，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6 解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化為
m(+1)+n(+1)=0. ①
若m=0，則由①得n=0，但m, n不同時為0，所以m0, n0.
ⅰ)若m>0，則由①得n<0，設f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+∞）上是增函式。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=,但與m<0矛盾。
綜上，方程有唯一實數解x=
3.配方法。
例7 求函式y=x+的值域。
【解】 y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
當x=-時，y取最小值-，所以函式值域是[-，+∞）。
4．換元法。
例8 求函式y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因為x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以該函式值域為[2+，8]。
5．判別式法。
例9 求函式y=的值域。
【解】由函式解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ①
當y1時，①式是關於x的方程有實根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又當y=1時，存在x=0使解析式成立，
所以函式值域為[，7]。
6．關於反函式。
例10 若函式y=f(x)定義域、值域均為r，且存在反函式。若f(x)在(-∞,+ ∞)上遞增，求證：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函式。
【證明】設x1即y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)遞增。
例11 設函式f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】 首先f(x)定義域為其次，設x1, x2是定義域內變數，且x10,
所以f(x)在（-∞，-）上遞增，同理f(x)在[-，+∞）上遞增。
在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，設x同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因為x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1.
三、基礎訓練題
1．已知x=, y=，對映f：x→y滿足：對任意的x∈x，它在y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數，這樣的對映有_______個。
2．給定a=，b=和對映f：x→y，若f為單射，則f有_______個；若f為滿射，則f有_______個；滿足f[f(x)] =f(x)的對映有_______個。
3．若直線y=k(x-2)與函式y=x2+2x圖象相交於點（-1，-1），則圖象與直線一共有_______個交點。
4．函式y=f(x)的值域為，則函式g(x)=f(x)+的值域為_______。
5．已知f(x)=，則函式g(x)=f[f(x)]的值域為_______。
6．已知f(x)=|x+a|，當x≥3時f(x)為增函式，則a的取值範圍是_______。
7．設y=f(x)在定義域（，2）內是增函式，則y=f(x2-1)的單調遞減區間為_______。
8．若函式y=(x)存在反函式y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關於直線_______對稱。
9．函式f(x)滿足=1-，則f
10. 函式y=, x∈(1, +∞)的反函式是_______。
11．求下列函式的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=
12. 已知定義在r上，對任意x∈r, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函式，又當x∈[2,3]時，f(x)=x，則當x∈[-2,0]時，求f(x)的解析式。
四、高考水平訓練題
1．已知a∈, f(x)定義域是（0,1]，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_______。
2．設0≤a<1時，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域為_______。
初中數學函式總結
函式知識點及常見題型總結 函式在初中數學中考中分值大約有20 25分，一次函式 二次函式和反比例函式都會考查，其中一次函式和反比例函式分值共約佔其中的50 二次函式約佔另一半。函式的題型以下歸納總結了11種，當然這並不包括所有可能出現的情況，僅僅只是較為常見的。函式有時是以下題型組合起來構成的較為複...
初中數學函式專題總結
一次函式 1 定義與定義式 自變數x和因變數y有如下關係 y kx b k，b為常數，k 0 則稱y是x的一次函式,特別地，當b 0時，y是x的正比例函式。2 一次函式的性質 y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k,即 y x k 3 一次函式的圖象及性質 1 作法與圖形 1 列表 一般找4...
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