初中數學函式總結

函式知識點及常見題型總結

函式在初中數學中考中分值大約有20~25分，一次函式、二次函式和反比例函式都會考查，其中一次函式和反比例函式分值共約佔其中的50%，二次函式約佔另一半。

函式的題型以下歸納總結了11種，當然這並不包括所有可能出現的情況，僅僅只是較為常見的。函式有時是以下題型組合起來構成的較為複雜的題型，因此，我們必須掌握住以下題型才能尋求突破。換句話說，我們掌握住以下題型，複雜的題型分解開來，我們也能各個突破，最終解決掉。

一、核心知識點總結

1、函式的表示式

1）一次函式：y=kx+b(是常數，)

2）反比例函式：函式（是常數，）叫做反比例函式。注意：

3）二次函式：，

2、點的座標與函式的關係

1）點的座標用表示，橫座標在前，縱座標在後，中間有「，」分開。平面內點的座標是有序實數對，當時，和是兩個不同點的座標。

2）點的座標：從點向x軸和y軸引垂線，橫縱座標的絕對值對應相對應線段的長度。

3）若某一點在某一函式影象上，則該點的座標可代入函式的表示式中，要將函式影象上的點與座標一一聯絡起來。

3、函式的影象

1）一次函式

一次函式的影象是經過點（0，b）的直線；正比例函式的影象是經過原點（0，0）的直線。

2）反比例函式

3）二次函式

4、函式影象的平移

① 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；

② 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：

③平移規律在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．概括成八個字「左加右減，上加下減」．

二、常見題型：

1、求函式的表示式

常見求函式表示式的方法是待定係數法，假設出函式解析式，將函式上的點的座標代入函式，求出未知係數。在函式大題中，第一小問基本都是採用待定係數法求函式的表示式。

注意：二次函式的解析式常根據具體情況選擇採用以下方式求解：

1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；

2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；

3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩點式；

4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．

【例1】（2015武漢）已知一次函式y=kx+3的圖象經過點（1，4）．

（1）求這個一次函式的解析式；

（2）求關於x的不等式kx+3≤6的解集．

【例2】（2015海南）如圖，二次函式y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交於點a（﹣3，0）、b（1，0），與y軸相交於點c，點g是二次函式圖象的頂點，直線gc交x軸於點h（3，0），ad平行gc交y軸於點d．

求該二次函式的表示式。

2、將函式的知識與幾何知識聯絡起來的復合題

此類題目是在函式影象中有幾何圖形，一般情況是通過點的座標可得出相對應的線段的長度，最終求得線段的長度或是圖形的面積與周長等。

【例3】（2015黃岡中學自主招生）如圖所示，已知直線與x、y軸交於b、c兩點，a（0，0），在△abc內依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另乙個頂點在bc邊上，作出的等邊三角形分別是第1個△aa1b1，第2個△b1a2b2，第3個△b2a3b3，…則第n個等邊三角形的邊長等於（　　）

a． b． c． d．

【例4】（2015德陽）如圖，在一次函式y=﹣x+6的圖象上取一點p，作pa⊥x軸於點a，pb⊥y軸於點b，且矩形pboa的面積為5，則在x軸的上方滿足上述條件的點p的個數共有（　　）

a．1個 b．2個 c．3個 d．4個

3、根據函式影象判定係數的正負性或取值範圍

【例5】（2015魏縣二模）若直線y=mx+2m﹣3經過

二、三、四象限，則m的取值範圍是（　　）

a．m＜ b．m＞0 c．m＞ d．m＜0

【例6】（2015咸寧）如圖是二次函式y=ax2+bx+c的圖象，下列結論：

①二次三項式ax2+bx+c的最大值為4；

②4a+2b+c＜0；

③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣1；

④使y≤3成立的x的取值範圍是x≥0．

其中正確的個數有（　　）

a．1個 b．2個 c．3個 d．4個

4、根據係數的範圍判定函式影象在座標系中的位置

【例7】（2015棗莊）已知直線y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那該直線不經過的象限是（　　）

a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限

【例8】（2015杭州模擬）已知直線y=kx+b，若k+b＜0，kb＞0，那麼該直線不經過（　　）

a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限

5、函式值域

【例8】（2015天津）己知反比例函式y=，當1＜x＜3時，y的取值範圍是（　　）

a．0＜y＜l b．1＜y＜2 c．2＜y＜6 d．y＞6

6、函式影象單調性的判定

【例9】（2015營口）如圖，在平面直角座標系中，a（﹣3，1），以點o為頂點作等腰直角三角形aob，雙曲線y1=在第一象限內的圖象經過點b．設直線ab的解析式為y2=k2x+b，當y1＞y2時，x的取值範圍是（　　）

a．﹣5＜x＜1 b．0＜x＜1或x＜﹣5 c．﹣6＜x＜1 d．0＜x＜1或x＜﹣6

【例10】（2015上海模擬）已知正比例函式y=kx（k≠0）的圖象經過點（﹣4，2），那麼函式值y隨自變數x的值的增大而　　　　　　．（填「增大」或「減小」）

【例11】（2015欽州）對於函式y=，下列說法錯誤的是（　　）

a．這個函式的圖象位於第

一、第三象限

b．這個函式的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

c．當x＞0時，y隨x的增大而增大

d．當x＜0時，y隨x的增大而減小

7、點的縱座標大小比較與最值

【例12】（2015富順縣一模）若a（﹣3，y1），b（﹣2，y2），c（﹣1，y3）三點都在y=﹣的圖象上，則y1，y2，y3的大小關係是　　　　　　．

【例13】（2015湖北校級自主招生）已知a≥4，當1≤x≤3時，函式y=2x2﹣3ax+4的最小值是﹣23，則a=　　　　　　．

8、函式影象的平移

在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．概括成八個字「左加右減，上加下減」

【例14】（2015閘北區模擬）將一次函式y=x+3的圖象沿著y軸向下平移5個單位，那麼平移後所得圖象的函式解析式為　　　　　　．

9、利用函式解實際問題

很據實際問題建立函式模型，最終求解。

【例15】（2015武漢校級模擬）甲、乙兩車從a城出發前往b城，在整個行程中，汽車離開a城的距離y與時刻t的對應關係如圖所示，則當乙車到達b城時，甲車離b城的距離為　　　　　　km．

【例16】（2015盤錦）盤錦紅海灘景區門票**80元/人，景區為吸引遊客，對門票**進行動態管理，非節假日打a折，節假日期間，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超過10人的部分打b折，設遊客為x人，門票費用為y元，非節假日門票費用y1（元）及節假日門票費用y2（元）與遊客x（人）之間的函式關係如圖所示．

（1）a=　　　　　　，b=　　　　　　；

（2）直接寫出y1、y2與x之間的函式關係式；

（3）導遊小王6月10日（非節假日）帶a旅遊團，6月20日（端午節）帶b旅遊團到紅海灘景區旅遊，兩團共計50人，兩次共付門票費用3040元，求a、b兩個旅遊團各多少人？

10、函式與幾何綜合題

此類題型一般是利用函式影象上點的座標，確定線段的長度，最後再利用幾何知識解題，這類題有一定難度。做這類題的關鍵是將函式的知識與幾何知識聯絡起來。

【例17】（2015錦州）如圖，在平面直角座標系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有乙個頂點落在函式y=x的圖象上，從左向右第3個正方形中的乙個頂點a的座標為（6，2），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為s1、s2、s3、…、sn，則第4個正方形的邊長是　　　　　　，s3的值為　　　　　　．

【例18】（2015麗水）如圖，反比例函式y=的圖象經過點（﹣1，﹣2），點a是該圖象第一象限分支上的動點，鏈結ao並延長交另一分支於點b，以ab為斜邊作等腰直角三角形abc，頂點c在第四象限，ac與x軸交於點p，鏈結bp．

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