第6講正弦定理和餘弦定理
【高考會這樣考】
1．考查正、餘弦定理的推導過程．
2．考查利用正、餘弦定理判斷三角形的形狀．
3．考查利用正、餘弦定理解任意三角形的方法．
【複習指導】
1．掌握正弦定理和餘弦定理的推導方法．
2．通過正、餘定理變形技巧實現三角形中的邊角轉換，解題過程中做到正餘弦定理的優化選擇．
基礎梳理
1．正弦定理：＝＝＝2r，其中r是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：
(1)a∶b∶c＝sin a∶sin b∶sin c；
(2)a＝2rsin_a，b＝2rsin_b，c＝2rsin_c；
(3)sin a＝，sin b＝，sin c＝等形式，以解決不同的三角形問題．
2．餘弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_a，b2＝a2＋c2－2accos_b，c2＝a2＋b2－2abcos_c．餘弦定理可以變形為：cos a＝，cos b＝，cos c＝.
3．s△abc＝absin c＝bcsin a＝acsin b＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形外接圓半徑，r是三角形內切圓的半徑)，並可由此計算r，r.
4．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，a，則
一條規律
在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△abc中，a＞ba＞bsin a＞sin b.
兩類問題
在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角．情況(2)中結果可能有一解、兩解、無解，應注意區分．餘弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊，求各角．
兩種途徑
根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：
(1)化邊為角；(2)化角為邊，並常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉換．
雙基自測
1．(人教a版教材習題改編)在△abc中，a＝60°，b＝75°，a＝10，則c等於( )．
a．5 b．10
c. d．5
解析由a＋b＋c＝180°，知c＝45°，
由正弦定理得：＝，
即＝.∴c＝.
答案 c
2．在△abc中，若＝，則b的值為( )．
a．30° b．45° c．60° d．90°
解析由正弦定理知：
＝，∴sin b＝cos b，∴b＝45°.
答案 b
3．(2011·鄭州聯考)在△abc中，a＝，b＝1，c＝2，則a等於( )．
a．30° b．45° c．60° d．75°
解析由餘弦定理得：cos a＝＝＝，
∵0＜a＜π，∴a＝60°.
答案 c
4．在△abc中，a＝3，b＝2，cos c＝，則△abc的面積為( )．
a．3 b．2 c．4 d.
解析 ∵cos c＝，0＜c＜π，
∴sin c＝，
∴s△abc＝absin c
＝×3×2×＝4.
答案 c
5．已知△abc三邊滿足a2＋b2＝c2－ab，則此三角形的最大內角為________．
解析 ∵a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos c＝＝－，
故c＝150°為三角形的最大內角．
答案 150°
考向一利用正弦定理解三角形
【例1】在△abc中，a＝，b＝，b＝45°.求角a，c和邊c.
[審題視點] 已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的判斷．
解由正弦定理得＝，＝，
∴sin a＝.
∵a＞b，∴a＝60°或a＝120°.
當a＝60°時，c＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝；
當a＝120°時，c＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝.
(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應引起注意．
【訓練1】 (2011·北京)在△abc中，若b＝5，∠b＝，tan a＝2，則sin aa
解析因為△abc中，tan a＝2，所以a是銳角，
且＝2，sin2a＋cos2a＝1，
聯立解得sin a＝，
再由正弦定理得＝，
代入資料解得a＝2.
答案 2
考向二利用餘弦定理解三角形
【例2】在△abc中，a、b、c分別是角a、b、c的對邊，且＝－.
(1)求角b的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△abc的面積．
[審題視點] 由＝－，利用餘弦定理轉化為邊的關係求解．
解 (1)由餘弦定理知：cos b＝，
cos c＝.
將上式代入＝－得：
·＝－，
整理得：a2＋c2－b2＝－ac.
∴cos b＝＝＝－.
∵b為三角形的內角，∴b＝π.
(2)將b＝，a＋c＝4，
b＝π代入b2＝a2＋c2－2accos b，
得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos b，
∴13＝16－2ac，∴ac＝3.
∴s△abc＝acsin b＝.
(1)根據所給等式的結構特點利用餘弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關鍵．
(2)熟練運用餘弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用．
【訓練2】 (2011·桂林模擬)已知a，b，c為△abc的三個內角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2＋cos a＝0.
(1)求角a的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△abc的面積．
解 (1)由2cos2＋cos a＝0，
得1＋cos a＋cos a＝0，
即cos a＝－，
∵0＜a＜π，∴a＝.
(2)由餘弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bccos a，a＝，
則a2＝(b＋c)2－bc，
又a＝2，b＋c＝4，
有12＝42－bc，則bc＝4，
故s△abc＝bcsin a＝.
考向三利用正、餘弦定理判斷三角形形狀
【例3】在△abc中，若(a2＋b2)sin(a－b)＝(a2－b2)sin c，試判斷△abc的形狀．
[審題視點] 首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷．
解由已知(a2＋b2)sin(a－b)＝(a2－b2)sin c，
得b2[sin(a－b)＋sin c]＝a2[sin c－sin(a－b)]，
即b2sin acos b＝a2cos asin b，
即sin2bsin acos b＝sin2acos bsin b，所以sin 2b＝sin 2a，
由於a，b是三角形的內角．
故0＜2a＜2π，0＜2b＜2π.
故只可能2a＝2b或2a＝π－2b，
即a＝b或a＋b＝.
故△abc為等腰三角形或直角三角形．
判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、餘弦定理進行邊角的統一．即將條件化為只含角的三角函式關係式，然後利用三角恒等變換得出內角之間的關係式；或將條件化為只含有邊的關係式，然後利用常見的化簡變形得出三邊的關係．
【訓練3】 在△abc中，若＝＝；則△abc是( )．
a．直角三角形 b．等邊三角形
c．鈍角三角形 d．等腰直角三角形
解析由正弦定理得a＝2rsin a，b＝2rsin b，c＝2rsin c(r為△abc外接圓半徑)．
∴＝＝.
即tan a＝tan b＝tan c，∴a＝b＝c.
答案 b
考向三正、餘弦定理的綜合應用
【例3】在△abc中，內角a，b，c對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，c＝.
(1)若△abc的面積等於，求a，b；
(2)若sin c＋sin(b－a)＝2sin 2a，求△abc的面積．
[審題視點] 第(1)問根據三角形的面積公式和餘弦定理列出關於a，b的方程，通過方程組求解；第(2)問根據sin c＋sin(b－a)＝2sin 2a進行三角恒等變換，將角的關係轉換為邊的關係，求出邊a，b的值即可解決問題．
解 (1)由餘弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4.
又因為△abc的面積等於，所以absin c＝，得ab＝4，聯立方程組解得
(2)由題意，得sin(b＋a)＋sin(b－a)＝4sin acos a，
即sin bcos a＝2sin acos a.
當cos a＝0，即a＝時，b＝，
a＝，b＝；
當cos a≠0時，得sin b＝2sin a，
由正弦定理，得b＝2a.
聯立方程組
解得所以△abc的面積s＝a bsin c＝.
正弦定理、餘弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立，通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中，通過解方程組獲得更多的元素，再通過這些新的條件解決問題．
【訓練3】 (2011·北京西城一模)設△abc的內角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c，且cos b＝，b＝2.
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