第一節任意角和弧度制及任意角的三角函式
1．角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所成的圖形．
(2)分類
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成乙個集合s＝．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：把長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.
(2)公式：
3.任意角的三角函式
(1)定義：設α是乙個任意角，它的終邊與單位圓交於點p(x，y)，那麼sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)幾何表示：三角函式線可以看作是三角函式的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段mp，om，at分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．
1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打「√」或「×」)
(1)小於90°的角是銳角．( )
(2)三角形的內角必是第
一、第二象限角．( )
(3)不相等的角終邊一定不相同．( )
(4)若點p(tan α，cos α)在第三象限，則角α的終邊在第二象限．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知角α的終邊過點p(－1,2)，則sin α＝( )
ab.c．－ d．－
解析：選b 因為|op|＝＝(o為座標原點)，所以sin α＝＝.
3．若角θ同時滿足sin θ<0且tan θ<0，則角θ的終邊一定位於( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
解析：選d 由sin θ<0，可知θ的終邊可能位於第三象限或第四象限，也可能與y軸的非正半軸重合．由tan θ<0，可知θ的終邊可能位於第二象限或第四象限，故θ的終邊只能位於第四象限．
4．已知角α的終邊過點p(8m,3)，且cos α＝－，則m的值為( )
a．－ b.
c．－ d.
解析：選a 由題意得＝－，且m<0.
解得m＝－.
5．已知扇形的圓心角為60°，其弧長為2π，則此扇形的面積為________．
解析：設此扇形的半徑為r，由題意得r＝2π，所以r＝6，
所以此扇形的面積為×2π×6＝6π.
答案：6π
6．在0到2π範圍內，與角－終邊相同的角是________．
解析：與角－終邊相同的角是2kπ＋，k∈z，令k＝1，可得與角－終邊相同的角是.
答案：[考什麼·怎麼考]
高考物件限角及終邊相同的角直接考查較少，多滲透到三角函式求值及性質中，屬於基礎題.
1．給出下列四個命題：
①－是第二象限角；
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角．
其中正確命題的個數為( )
a．1b．2
c．3 d．4
解析：選c －是第三象限角，故①錯誤；＝π＋，從而是第三象限角，故②正確；－400°＝－360°－40°，從而－400°是第四象限角，故③正確；－315°＝－360°＋45°，從而－315°是第一象限角，故④正確，故選c.
2．在－720°～0°範圍內所有與45°終邊相同的角為________．
解析：所有與45°終邊相同的角可表示為：
β＝45°＋k×360°(k∈z)，
則令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈z)，
得－765°≤k×360°<－45°(k∈z)，
解得－≤k<－(k∈z)，
從而k＝－2或k＝－1，
代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案：－675°或－315°
3．終邊在直線y＝x上的角的集合為
解析：在座標系中畫出直線y＝x，可以發現它與x軸正半軸的夾角是，終邊在直線y＝x上的角的集合為.
答案：4．若角α是第二象限角，則是第________象限角．
解析：∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈z.當k為偶數時，是第一象限角；當k為奇數時，是第三象限角．
答案：一或三
[怎樣快解·準解]
1．象限角的兩種判斷方法
(1)圖象法：在平面直角座標系中，作出已知角並根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．
(2)轉化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．
2．求或nθ(n∈n*)所在象限的方法
(1)將θ的範圍用不等式(含有k，且k∈z)表示．
(2)兩邊同除以n或乘以n.
(3)對k進行討論，得到或nθ(n∈n*)所在的象限．
[注意] (1)相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同的角有無數個，它們之間相差360°的整數倍．
(2)終邊在一條直線上的角之間相差180°的整數倍；終邊在互相垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數倍．
[考什麼·怎麼考]
高考對扇形的弧長、面積公式很少直接考查，主要是理解弧度制下的公式的應用，屬於基礎題.
1．已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數是( )
a．1b．4
c．1或4 d．2或4
解析：選c 設扇形的半徑為r，弧長為l，
則解得或
從而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
2．已知扇形弧長為20 cm，圓心角為100°，則該扇形的面積為________cm2.
解析：由弧長公式l＝|α|r，得
r＝＝，∴s扇形＝lr＝×20×＝.
答案：3．如果乙個扇形的半徑變為原來的一半，而弧長變為原來的倍，則該弧所對的圓心角是原來的________倍．
解析：設圓的半徑為r，弧長為l，則其弧度數為.
將半徑變為原來的一半，弧長變為原來的倍，
則弧度數變為＝3·，
即弧度數變為原來的3倍．
答案：3
[怎樣快解·準解]
弧度制下有關弧長、扇形面積問題的解題策略
(1)明確弧度制下弧長及扇形面積公式，在使用公式時，要注意角的單位必須是弧度．
(2)分析題目已知哪些量、要求哪些量，然後靈活地運用弧長公式、扇形面積公式直接求解，或合理地利用圓心角所在三角形列方程(組)求解．
任意角的三角函式(正弦、余弦、正切)的定義屬於理解內容.在高考中多以選擇題、填空題的形式出現.,常見的命題角度有：
(1)利用三角函式定義求值；
(2)三角函式值符號的判定；
(3)三角函式線的應用.
[題點全練]
角度(一) 利用三角函式定義求值
1．已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝( )
a．－ b．－
c. d.
解析：選b 設p(t,2t)(t≠0)為角θ終邊上任意一點，則cos θ＝.
當t>0時，cos θ＝；當t<0時，cos θ＝－.
因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
2．已知角α的終邊經過點p(－x，－6)，且cos α＝－，則
解析：∵角α的終邊經過點p(－x，－6)，且cos α＝－，
∴cos α＝＝－，解得x＝或x＝－(捨去)，
∴p，∴sin α＝－，∴tan α＝＝，
則＋＝－＋＝－.
答案：－
[題型技法] 利用三角函式定義求三角函式值的方法
(1)已知角α終邊上一點p的座標，則可先求出點p到原點的距離r，然後用三角函式的定義求解．
(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的座標，求出此點到原點的距離，然後用三角函式的定義求解．
角度(二) 三角函式值符號的判定
3．(2014·全國卷ⅰ)若tan α>0，則( )
a．sin α>0 b．cos α>0
c．sin 2α>0 d．cos 2α>0
解析：選c 由tan α>0，可得α的終邊在第一象限或第三象限，此時sin α與cos α同號，故sin 2α＝2sin acos α>0，故選c.
4．若sin αtan α<0，且<0，則角α是( )
a．第一象限角b．第二象限角
c．第三象限角 d．第四象限角
解析：選c 由sin αtan α<0可知sin α，tan α異號，
則α為第二象限角或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α異號，
則α為第三象限角或第四象限角．
綜上可知，α為第三象限角．
[題型技法] 三角函式值符號及角的位置判斷
已知一角的三角函式值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在座標軸上的特殊情況．
角度(三) 三角函式線的應用
5．函式y＝lg(3－4sin2x)的定義域為________．
解析：∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，
∴－利用三角函式線畫出x滿足條件的終邊範圍(如圖陰影部分所示)，
∴x∈(k∈z)．
答案： (k∈z)
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