三角函式與三角形
第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)
1．(2011·寧夏銀川一中檢測)y＝(sinx＋cosx)2－1是( )
a．最小正週期為2π的偶函式 b．最小正週期為2π的奇函式
c．最小正週期為π的偶函式 d．最小正週期為π的奇函式
[答案] d
[解析] y＝(sinx＋cosx)2－1＝2sinxcosx＝sin2x，所以函式y＝(sinx＋cosx)2－1是最小正週期為π的奇函式．
2．(2011·寧夏銀川月考、山東聊城一中期末)把函式y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的圖象向左平移個單位，再將影象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍(縱座標不變)所得的圖象解析式為y＝sinx，則( )
a．ω＝2b．ω＝2，φ＝－
cd．ω＝，φ＝
[答案] b
[分析] 函式y＝sin(ωx＋φ)經過上述變換得到函式y＝sinx，把函式y＝sinx的圖象經過上述變換的逆變換即可得到函式y＝sin(ωx＋φ)的圖象．
[解析] 把y＝sinx圖象上所有點的橫座標縮小到原來的倍得到的函式解析式是y＝sin2x，再把這個函式圖象向右平移個單位，得到的函式圖象的解析式是y＝sin2＝sin，與已知函式比較得ω＝2，φ＝－.
[點評] 本題考查三角函式圖象的變換，試題設計成逆向考查的方式更能考查出考生的分析解決問題的靈活性，本題也可以根據比較係數的方法求解，根據已知的變換方法，經過兩次變換後函式y＝sin(ωx＋φ)被變換成y＝sin比較係數也可以得到問題的答案．
3．(2011·遼寧瀋陽二中階段檢測)若函式f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正週期為1，則它的影象的乙個對稱中心為( )
a. b.
c．(0,0) d.
[答案] a
[分析] 把函式化為乙個角的一種三角函式，根據函式的最小正週期求出ω的值，根據對稱中心是函式圖象與x軸的交點進行檢驗或直接令f(x)＝0求解．
[解析] f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，這個函式的最小正週期是，令＝1，解得ω＝2，故函式f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，把選項代入檢驗知點為其乙個對稱中心．
[點評] 函式y＝asin(ωx＋φ)的圖象的對稱中心，就是函式圖象與x軸的交點．
4．(2011·江西南昌市調研)已知函式y＝asin(ωx＋φ)＋m(a>0，ω>0)的最大值為4，最小值為0，最小正週期為，直線x＝是其圖象的一條對稱軸，則符合條件的函式解析式是( )
a．y＝4sin b．y＝2sin＋2
c．y＝2sin＋2 d．y＝2sin＋2
[答案] d
[解析] 由最大值為4，最小值為0得
，∴，又因為正週期為，∴＝，∴ω＝4，∴函式為y＝2sin(4x＋φ)＋2，∵直線x＝為其對稱軸，∴4×＋φ＝＋kπ，k∈z，∴φ＝kπ－，取k＝1知φ＝，故選d.
5．(文)(2011·北京朝陽區期末)要得到函式y＝sin的圖象，只要將函式y＝sin2x的圖象( )
a．向左平移個單位 b．向右平移個單位
c．向右平移個單位 d．向左平移個單位
[答案] c
[解析] y＝sin＝sin2，故只要將y＝sin2x的圖象向右平移個單位即可．因此選c.
(理)(2011·東北育才期末)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，記f(x)＝a·b，要得到函式y＝cos2x－sin2x的影象，只需將函式y＝f(x)的影象( )
a．向左平移個單位長度 b．向右平移個單位長度
c．向左平移個單位長度 d．向右平移個單位長度
[答案] c
[解析] f(x)＝a·b＝cosxsinx＋sinxcosx＝sin2x，y＝cos2x－sin2x＝cos2x＝sin＝sin2，可將f(x)的圖象向左平移個單位長度得到，故選c.
6．(文)(2011·北京西城區期末)已知△abc中，a＝1，b＝，b＝45°，則角a等於( )
a．150° b．90°
c．60° d．30°
[答案] d
[解析] 根據正弦定理得＝，∴sina＝，
∵a(理)(2011·福州期末)黑板上有一道解答正確的解三角形的習題，一位同學不小心把其中一部分擦去了，現在只能看到：在△abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，已知a＝2，……，解得b＝.根據以上資訊，你認為下面哪個選項可以作為這個習題的其餘已知條件( )
a．a＝30°，b＝45° b．c＝1，cosc＝
c．b＝60°，c＝3 d．c＝75°，a＝45°
[答案] d
[分析] 可將選項的條件逐個代入驗證．
[解析] ∵≠，∴a錯；
∵cosc＝＝≠，∴b錯；
∵＝＝≠cos60°，
∴c錯，故選d.
7．(文)(2011·黃岡市期末)已知函式y＝asin(ωx＋φ)＋b的一部分圖象如圖所示，如圖a>0，ω>0，|φ|<，則( )
a．φ＝－ b．φ＝－
c．φ＝ d．φ＝
[答案] d
[解析] 由圖可知，∴，
又＝－＝，∴t＝π，∴ω＝2，
∴y＝2sin(2x＋φ)＋2，將代入得sin＝0，結合選項知選d.
(理)(2011·蚌埠二中質檢)函式y＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)為奇函式，該函式的部分圖象如右圖所表示，a、b分別為最高與最低點，並且兩點間的距離為2，則該函式的一條對稱軸為( )
a．x＝ b．x＝
c．x＝1 d．x＝2
[答案] c
[解析] ∵函式y＝cos(ωx＋φ)為奇函式，0<φ<π，∴φ＝，∴函式為y＝－sinωx，又ω>0，相鄰的最高點與最低點a、b之間距離為2，∴ω＝，∴y＝－sinx，其對稱軸方程為x＝kπ＋，即x＝2k＋1(k∈z)，令k＝0得x＝1，故選c.
8．(文)(2011·安徽百校聯考)已知cos＝，且|φ|<，則tanφ等於( )
a．－ b.
c. d．－
[答案] d
[解析] 由cos＝得，sinφ＝－，
又|φ|<，∴cosφ＝，∴tanφ＝－.
(理)(2011·山東日照調研)已知cosα＝－且α∈，則tan等於( )
a．－ b．－7
c. d．7
[答案] c
[解析] ∵cosα＝－，≤α≤π，
∴sinα＝，∴tanα＝－，
∴tan＝＝＝，故選c.
9．(2011·巢湖質檢)如圖是函式y＝sin(ωx＋φ)的圖象的一部分，a，b是圖象上的乙個最高點和乙個最低點，o為座標原點，則·的值為( )
a.π b.π2＋1
c.π2－1 d.π2－1
[答案] c
[解析] 由圖知＝－＝，∴t＝π，
∴ω＝2，∴y＝sin(2x＋φ)，
將點的座標代入得sin＝0，
∴φ＝，
∴a，b，∴·＝－1，故選c.
10．(2011·濰坊一中期末)已知函式f(x)＝2sinωx(ω>0)在區間[－，]上的最大值是2，則ω的最小值等於( )
a. b.
c．2 d．3
[答案] c
[解析] 由條件知f＝2sinω＝2，∴ω＝8k＋2，∵ω>0，∴ω最小值為2.
11．(文)(2011·煙台調研)已知tanα＝2，則＝( )
a. b．－
c. d.
[答案] d
[解析] ∵tanα＝2，∴＝＝＝.
(理)(2011·四川廣元診斷)的值應是( )
a．－1 b．1
c．－ d.
[答案] c
[解析]
原式＝＝＝－.
12．(2011·溫州八校期末)在△abc中，角a、b、c所對的邊長分別為a、b、c，設命題p：＝＝，命題q：△abc是等邊三角形，那麼命題p是命題q的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
[答案] c
[解析] ∵＝＝，
∴由正弦定理得＝＝，
∴sina＝sinb＝sinc，即a＝b＝c，∴pq，故選c.
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．(文)(2011·山東日照調研)在△abc中，若a＝b＝1，c＝，則∠c
[答案]
[解析] cosc＝＝＝－，∴c＝.
(理)(2011·四川資陽模擬)在△abc中，∠a＝，bc＝3，ab＝，則∠c
[答案]
[解析] 由正弦定理得＝，∴sinc＝，∵ab14．(2011·山東濰坊一中期末)若tanα＝2，tan(β－α)＝3，則tan(β－2α)的值為________．
[答案]
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝.
15．(2011·安徽百校論壇聯考)已知f(x)＝2sin－m在x∈[0，]上有兩個不同的零點，則m的取值範圍是________．
[答案] [－1,2]
[解析] f(x)在[0，]上有兩個不同零點，即方程f(x)＝0在[0，]上有兩個不同實數解，
∴y＝2sin，x∈[0，]與y＝m有兩個不同交點，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin(2x－)≤1，∴－1≤y≤2，∴－1≤m≤2.
16．(2011·四川廣元診斷)對於函式f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1(x∈r)給出下列命題：①f(x)的最小正週期為2π；②f(x)在區間[，]上是減函式；③直線x＝是f(x)的影象的一條對稱軸；④f(x)的影象可以由函式y＝sin2x的影象向左平移而得到．其中正確命題的序號是________(把你認為正確的都填上)．
[答案] ②③
[解析] f(x)＝cos2x＋sin2x＝sin，最小正週期t＝π；由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈z)得kπ＋≤x≤kπ＋，故f(x)在區間[，]上是減函式；當x＝時，2x＋＝，∴x＝是f(x)的圖象的一條對軸稱；y＝sin2x的圖象向左平移個單位得到的圖象對應函式為y＝sin2，即y＝sin，因此只有②③正確．
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)(2011·煙台調研)向量m＝(a＋1，sinx)，n＝(1,4cos(x＋))，設函式g(x)＝m·n(a∈r，且a為常數)．
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