狀元廊學校數學思維方法講義之十三年級：九年級
第13講直線和圓的位置關係
圓的知識在平面幾何中乃至整個初中教學中都占有重要的地位，而直線和圓的位置關係的應用又比較廣泛，它是初中幾何知識的綜合運用，又是在學習了點和圓的位置關係的基礎上進行的，在幾何證明與計算中，將起到重要的作用，是中考必考查點。
【知識縱橫】
§ⅰ直線和圓的位置關係：
設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d．
⑴直線與圓相交dr；
⑵直線與圓相切dr；
⑶直線與圓相離d__ ____r。
§ⅱ圓的切線：
1．乙個定義：與圓只有乙個公共點的直線叫做圓的__ ___；這個公共點叫做__ ___；
2．兩種判定：⑴若圓心到直線的距離等於半徑，則該直線是圓的切線；⑵經過直徑的一端，並且垂直於這條直徑的直線是圓的切線；
3．判定直線和圓的位置，一般考慮如下「三步曲」：
一「看」：看看題目中有沒有告訴我們直線和圓有幾個公共點；
二「算」：算算圓心到直線的距離d和圓的半徑為r之間的大小關係，然後根據上述關係作出判斷；
三「證明」： 證明直線是否經過直徑的一端，並且與該直徑的位置關係是否垂直。
4．四條性質：切線有許多重要性質
⑴圓心到切線的距離等於圓的_ ____；
⑵過切點的半徑垂直於_ ____；
⑶經過圓心，與切線垂直的直線必經過___ __；
⑷經過切點，與切線垂直的直線必經過
5．弦切角
定義 ：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角；
定理 ：弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角．
推論 ：a)兩個弦切角所夾的弧相等，這兩個弦切角也相等；
b)弦切角的度數等於它所夾弧度數的一半。
【典例精析】
考點1: 直線和圓的位置關係
【例1】1、如圖，已知⊙是以數軸的原點為圓心，半徑為1的圓，,點在數軸上運動，若過點且與平行的直線與⊙有公共點, 設，則的取值範圍是
2、射線qn與等邊△abc的兩邊ab，bc分別交於點m，n，且ac∥qn，am=mb=2cm，qm=4cm．動點p從點q出發，沿射線qn以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點p為圓心， cm為半徑的圓與△abc的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值單位：秒）．
變式一：
1、如圖，在rt△abc中，∠c=90°，∠a=30°，ab=．若動點d**段ac上（不與點a、c重合），過點d作de⊥ac交ab邊於點e．
（1）當點d運動到線段ac中點時，de
（2）點a關於點d的對稱點為點f，以fc為半徑作⊙c，當de= 時，⊙c與直線ab相切．
2、如圖，在直角梯形abcd中，已知ad∥bc，∠c=90°，且
ab>ad+ bc，ab是⊙o直徑，則直線cd與⊙o的位置關係為_____ _．
考點2: 圓的切線的性質基本運用
【例2】已知直線pd垂直平分⊙o的半徑oa於點b，pd交⊙o於點c、d，pe是⊙o的切線，e為切點，鏈結ae，交cd於點f．
（1）若⊙o的半徑為8，求cd的長；
（2）證明：pe=pf；
（3）若pf=13，sina=，求ef的長．
變式二：
如圖，⊙o是△abc的外接圓，fh是⊙o 的切線，切點為f，fh∥bc，鏈結af交bc於e，∠abc的平分線bd交af於d，鏈結bf．
（1）證明：af平分∠bac；
（2）證明：bf=fd；
（3）若ef＝4，de＝3，求ad的長．
考點3:切線的判定定理運用
【例4】如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑作半圓⊙o，交bc於點d，連線ad，過點d作de⊥ac，垂足為點e，交ab的延長線於點f．
（1）求證：ef是⊙o的切線；
（2）如果⊙o的半徑為5，sin∠ade=，求bf的長．
【例5】如圖，在⊙o中，直徑ab⊥cd，垂足為e，點m在oc上，am的延長線交⊙o於點g，交過c的直線於f，∠1=∠2，鏈結cb與dg交於點n．
（1）求證：cf是⊙o的切線；
（2）求證：△acm∽△dcn；
（3）若點m是co的中點，⊙o的半徑為4，cos∠boc=，求bn的長．
變式三：
如圖，中，，以為直徑作交邊於點，是邊的中點，連線．
（1）求證：直線是的切線；
（2）連線交於點，若，求的值．
【思維拓展】
【例6】如圖，pa為⊙o的切線，a為切點，直線po交⊙o與點e，f，過點a作po的垂線ab垂足為d，交⊙o與點b，延長bo與⊙o交與點c，連線ac，bf．
（1）求證：pb與⊙o相切；
（2）試**線段ef，od，op之間的數量關係，並加以證明；
（3）若ac=12，tan∠f=，求cos∠acb的值．
【例7】已知ab是⊙o的直徑，ab=4，點c**段ab的延長線上運動，點d在⊙o上運動（不與點b重合），連線cd，且cd=oa．
（1）當oc=時（如圖），求證：cd是⊙o的切線；
（2）當oc＞時，cd所在直線於⊙o相交，設另一交點為e，連線ae．
①當d為ce中點時，求△ace的周長；
②連線od，是否存在四邊形aode為梯形？若存在，請說明梯形個數並求此時aeed的值；若不存在，請說明理由．
變式四：
如圖，在邊長為2的正方形abcd中，以點d為圓心、dc為半徑作，點e在ab上，且與a、b兩點均不重合，點m在ad上，且me=md，過點e作ef⊥me，交bc於點f，連線de、mf．
（1）求證：ef是所在⊙d的切線；
（2）當ma=時，求mf的長；
（3）試**：△mfe能否是等腰直角三角形？若是，請直接寫出mf的長度；若不是，請說明理由．
【課後測控】
1、如圖1，，半徑為1cm的切於點，若將在上向右滾動，則當滾動到與也相切時，圓心移動的水平距離是cm．
2、如圖2，db為半圓的直徑，a為bd延長線上一點，ac切半圓於點e，bc⊥ac於點c，交半圓於點f．已知bd=2，設ad=x，cf=y，則y關於x的函式解析式是 ．
圖1圖2圖3
3、如圖，在rt△aob中，oa=ob=3，⊙o的半徑為1，點p是ab邊上的動點，過點p作⊙o的一條切線pq（點q為切點），則切線pq的最小值為
4、如圖，ab為半圓的直徑，c是半圓弧上一點，正方形defg的一邊dg在直徑ab上，另一邊de過δabc的內切圓圓心o，且點e在半圓弧上。①若正方形的頂點f也在半圓弧上，則半圓的半徑與正方形邊長的比是若正方形defg的面積為100，且δabc的內切圓半徑=4，則半圓的直徑ab
5、如圖，已知直線交⊙o於a、b兩點，ae是⊙o的直徑，點c為⊙o上一點，且ac平分∠pae，過c作，垂足為d．
(1) 求證：cd為⊙o的切線；
(2) 若dc+da=6，⊙o的直徑為10，求ab的長度．
6、如圖，直線經過⊙o上的點，並且，，⊙o交直線於，連線．
（1）求證：直線是⊙o的切線；
（2）試猜想三者之間的等量關係，並加以證明；
（3）若，⊙o的半徑為3，求的長．
7、如圖，已知ab是⊙o直徑，bc是⊙o的弦，弦ed⊥ab於點f，交bc於點g，過點c作⊙o的切線與ed的延長線交於點p．
（1）求證：pc=pg；
（2）點c在劣弧上運動時，其他條件不變，若點g是bc的中點，試**cg、bf、bo三者之間的數量關係，並寫出證明過程；
（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙o的半徑為5，若點o到bc的距離為時，求弦ed的長．
部分答案與提示：
【例2】考點：切線的性質；線段垂直平分線的性質；勾股定理；解直角三角形．
分析：（1）首先連線od，由直線pd垂直平分⊙o的半徑oa於點b，⊙o的半徑為8，可求得ob的長，又由勾股定理，可求得bd的長，然後由垂徑定理，求得cd的長；
（2）由pe是⊙o的切線，易證得∠pef=90°﹣∠aeo，∠pfe=∠afb=90°﹣∠a，繼而可證得∠pef=∠pfe，根據等角對等邊的性質，可得pe=pf；
（3）首先過點p作pg⊥ef於點g，易得∠fpg=∠a，即可得fg=pfsina=13×=5，又由等腰三角形的性質，求得答案．
解答：解：（1）連線od，
∵直線pd垂直平分⊙o的半徑oa於點b，⊙o的半徑為8，
∴ob=oa=4，bc=bd=cd，
∴在rt△obd中，bd==4，
∴cd=2bd=8；
（2）∵pe是⊙o的切線，
∴∠peo=90°，
∴∠pef=90°﹣∠aeo，∠pfe=∠afb=90°﹣∠a，
∵oe=oa，
∴∠a=∠aeo，
∴∠pef=∠pfe，
∴pe=pf；
（2）過點p作pg⊥ef於點g，
∴∠pgf=∠abf=90°，
∵∠pfg=∠afb，
∴∠fpg=∠a，
∴fg=pfsina=13×=5，
∵pe=pf，
∴ef=2fg=10．
變式二：
2.證明（1）鏈結of
∵fh是⊙o的切線
∴of⊥fh ……………1分
∵fh∥bc ，
∴of垂直平分bc ………2分
∴∴af平分∠bac …………3分
（2）證明：由（1）及題設條件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分
∠fdb=∠fbd
∴bf=fd ………………6分
（3）解： 在△bfe和△afb中
∵∠5=∠2=∠1，∠f=∠f
∴△bfe∽△afb ………………7分
∴， ……………8分
9分∴ ∴ad10分
【例4】考點：切線的判定；等腰三角形的性質；圓周角定理；解直角三角形．
直線和圓的方程 知識要點講義
考試內容 直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式和兩點式 直線方程的一般式 兩條直線平行與垂直的條件 兩條直線的交角 點到直線的距離 用二元一次不等式表示平面區域 簡單的線性規劃問題 曲線與方程的概念 由已知條件列出曲線方程 圓的標準方程和一般方程 圓的引數方程 考試要求 1 理解直線的傾斜角和斜率的...
九年級講義直線和圓
1 求證 點f是bd中點 2 求證 cg是 o的切線 3 若fb fe 2，求 o的半徑 4.如圖，o是 abc的外接圓，fh是 o 的切線，切點為f，fh bc，鏈結af交bc於e，abc的平分線bd交af於d，鏈結bf 1 證明 af平分 bac 2 證明 bf fd 3 若ef 4，de 3，...
直線和圓的方程
一 選擇題 每題3分，共54分 1 在直角座標系中，直線的傾斜角是 abcd 2 若圓c與圓關於原點對稱，則圓c的方程是 ab cd 3 直線同時要經過第 一 第二 第四象限，則應滿足 a b c d 4 已知直線，直線過點，且到的夾角為，則直線的方程是 a b c d 5 不等式表示的平面區域在直...