2009~2023年高考真題備選題庫
第3章三角函式、解三角形
第8節正弦定理和餘弦定理的應用
考點解三角形在實際中的應用
1．(2013江蘇，16分)如圖，遊客從某旅遊景區的景點a處下山至c處有兩種路徑．一種是從a沿直線步行到c，另一種是先從a沿索道乘纜車到b，然後從b沿直線步行到c.現有甲、乙兩位遊客從a處下山，甲沿ac勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發2 min後，乙從a乘纜車到b，在b處停留1 min後，再從b勻速步行到c.
假設纜車勻速直線執行的速度為130 m/min，山路ac長為1 260 m，經測量，cos a＝，cos c＝.
(1)求索道ab的長；
(2)問乙出發多少分鐘後，乙在纜車上與甲的距離最短？
(3)為使兩位遊客在c處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什麼範圍內？
解：本題考查正弦、餘弦定理，二次函式的最值，兩角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生閱讀審題建模的能力和解決實際問題的能力．
(1)在△abc中，因為cos a＝，cos c＝，所以
sin a＝，sin c＝.
從而sin b＝sin[π－(a＋c)]＝sin(a＋c)＝sin acos c＋cos asin c＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得ab＝×sin c＝×＝1 040(m)．
所以索道ab的長為1 040 m.
(2)假設乙出發t分鐘後，甲、乙兩遊客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離a處130t m，所以由餘弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故當t＝(min)時，甲、乙兩遊客距離最短．
(3)由正弦定理＝，得bc＝×sin a＝×＝500(m)．
乙從b出發時，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710 m才能到達c.
設乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以為使兩位遊客在c處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應控制在， (單位：m/min)範圍內．
2．(2010福建，12分)(本小題滿分13分)某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發時，輪船位於港口o北偏西30°且與該港口相距20海浬的a處，並正以30海浬/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海浬/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海浬/小時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，並說明理由．
解：法一：(1)設相遇時小艇航行的距離為s海浬，則
s＝＝＝.
故當t＝時，smin＝10，此時v＝＝30.
即，小艇以30海浬/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．
(2)設小艇與輪船在b處相遇．則
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.
∵0即－≤0，解得t≥.
又t＝時，v＝30.
故v＝30時，t取得最小值，且最小值等於.
此時，在△oab中，有oa＝ob＝ab＝20，故可設計航行方案如下：
航行方向為北偏東30°，航行速度為30海浬/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇．
法二：(1)若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向．
設小艇與輪船在c處相遇．在rt△oac中，oc＝20cos 30°＝10，ac＝20sin 30°＝10.
又ac＝30t，oc＝vt.
此時，輪船航行時間t＝＝，v＝＝30.
即，小艇以30海浬/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．
(2)猜想v＝30時，小艇能以最短時間與輪船在d處相遇，此時ad＝do＝30t.
又∠oad＝60°，所以ad＝do＝oa＝20，解得t＝.
據此可設計航行方案如下：
航行方向為北偏東30°，航行速度的大小為30海浬/小時，這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇．
證明如下：
如圖，由(1)得oc＝10，ac＝10；故oc>ac，且對於線段ac上任意點p，有op≥oc>ac.而小艇的最高航行速度只能達到30海浬/小時，故小艇與輪船不可能在a，c之間(包含c)的任意位置相遇．
設∠cod＝θ(0°<θ<90°)，則在rt△cod中，cd＝10tan θ，od＝.
由於從出發到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為
t＝和t＝，
所以，＝.
由此可得，v＝.
又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.
從而，30°≤θ<90°.
由於θ＝30°時，tanθ取得最小值，且最小值為.
於是，當θ＝30°時，t＝取得最小值，且最小值為.
法三：(1)同法一或法二．
(2)設小艇與輪船在b處相遇．依據題意得：
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
(v2－900)t2＋600t－400＝0.
(ⅰ)若0δ＝360 000＋1 600(v2－900)＝1 600(v2－675)≥0，
得v≥15.
從而，t＝，v∈[15，30)．
①當t＝時，
令x＝，則x∈[0,15)，t＝＝≥，
當且僅當x＝0即v＝15時等號成立．
②當t＝時，同理可得由①、②得，當v∈[15，30)時，t>.
(ⅱ)若v＝30，則t＝；
綜合(ⅰ)、(ⅱ)可知，當v＝30時，t取最小值，且最小值等於.
此時，在△oab中，oa＝ob＝ab＝20，故可設計航行方案如下：
航行方向為北偏東30°，航行速度為30海浬/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇．
3 5正弦定理和餘弦定理
第3章第5節 一 選擇題 1 文 2010 泰安模考 在 abc中，若a 60 bc 4，ac 4，則角b的大小為 a 30b 45 c 135d 45 或135 答案 b 解析 ac sin60 4 2 4 4，故 abc只有一解，由正弦定理得，sinb 4 4，b 理 在 abc中，角a b c...
《正弦定理和餘弦定理》教學反思
我對教學所持的觀念是 數學學習的主要目的是 在掌握知識的同時，領悟由其內容反映出來的數學思想方法，要在思維能力 情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。數學學習的有效方式是 主動 合作。現代教育應是開放性教育，師生互動的教育，探索發現的教育，充滿活力的教育。可是這些說起來容易，做起來卻困難重重，平時...
正弦定理 餘弦定理總結和應用
1 掌握正弦定理 餘弦定理，並能解決一些簡單的三角形度量問題 2 能夠運用正弦定理 餘弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題 主要考查有關定理的應用 三角恒等變換的能力 運算能力及轉化的數學思想 解三角形常常作為解題工具用於立體幾何中的計算或證明，或與三角函式聯絡在一起求距離 高度...