第3章《勾股定理》 ： 3.2 勾股定理的逆定理
解答題1．已知某開發區有一塊四邊形的空地abcd，如圖所示，現計畫在空地上種植草皮，經測量∠a=90°，ab=3m，bc=12m，cd=13m，da=4m，若每平方公尺草皮需要200元，問要多少投入？
1．2．如圖所示的一塊地，ad=12m，cd=9m，∠adc=90°，ab=39m，bc=36m，求這塊地的面積．
3．一架梯子ab長25公尺，如圖斜靠在一面牆上，梯子底端b離牆7公尺．
（1）這個梯子的頂端距地面有多高？
（2）如果梯子的頂端下滑了4公尺，那麼梯子底部在水平方向滑動了4公尺嗎？為什麼？
4．為了豐富少年兒童的業餘生活，某社群要在如圖所示ab所在的直線建一圖書室，本社群有兩所學校所在的位置在點c和點d處，ca⊥ab於a，db⊥ab於b，已知ab=25km，ca=15km，db=10km，試問：圖書室e應該建在距點a多少km處，才能使它到兩所學校的距離相等？
5．小明想知道學校旗桿的高，他發現旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當他把繩子的下端拉開5m後，發現下端剛好接觸地面，求旗桿的高．
6．小明想測量學校旗桿的高度，他採用如下的方法：先將旗桿上的繩子接長一些，讓它垂到地面還多1公尺，然後將繩子下端拉直，使它剛好接觸地面，測得繩下端離旗桿底部5公尺，你能幫它計算一下旗桿的高度．
7．如圖，公路ab和公路cd在點p處交會，且∠apc=45°，點q處有一所小學，
pq=120m，
8．有一根竹竿，不知道它有多長．把竹竿橫放在一扇門前，竹竿長比門寬多4尺；把竹竿豎放在這扇門前，竹竿長比門的高度多2尺；把竹竿斜放，竹竿長正好和門的對角線等長．問竹竿長幾尺？
9．如圖，a市氣象站測得颱風中心在a市正東方向300千公尺的b處，以10
千公尺/時的速度向北偏西60°的bf方向移動，距颱風中心200千公尺範圍內是受颱風影響的區域．
（1）a市是否會受到颱風的影響？寫出你的結論並給予說明；
（2）如果a市受這次颱風影響，那麼受颱風影響的時間有多長？
10．甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，沒有了水，需要尋找水源．為了不致於走散，他們用兩部對話機聯絡，已知對話機的有效距離為15千公尺．早晨8：00甲先出發，他以6千公尺/時的速度向東行走，1小時後乙出發，他以5千公尺/時的速度向北行進，上午10：00，甲、乙二人相距多遠？
還能保持聯絡嗎？
11．如圖，有乙隻小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少公尺（先畫出示意圖，然後再求解）．
12．某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開闢為生物園，如圖所示，∠acb=90°，ac=80公尺，bc=60公尺，若線段cd是一條小渠，且d點在邊ab上，已知水渠的造價為10元/公尺，問d點在距a點多遠處時，水渠的造價最低？最低造價是多少？
13．如圖所示，為修鐵路需鑿通隧道ac，測得∠a=53°，∠b=37°．ab=5km，bc=4km，若每天鑿0.3km，試計算需要幾天才能把隧道ac鑿通？
14．如圖，一次「颱風」過後，一根旗桿被颱風從離地面9公尺處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部12公尺處，那麼這根旗桿被吹斷前至少有多高
15．如圖，某人欲橫渡一條河，由於水流的影響，實際上岸地點a偏離欲到達地點b相距50公尺，結果他在水中實際遊的路程比河的寬度多10公尺，求該河的寬度bc為多少公尺？
16．小剛想知道學校公升旗桿的高度，他發現旗桿頂端處的繩子垂到地面後還多1公尺．當他把繩子拉直後並使下端剛好接觸地面，發現繩子下端離旗桿下端3公尺．請你幫小剛把旗桿的高度求出來．
17．印度數學家什迦邏（2023年-2023年）曾提出過「荷花問題」：「平平湖水清可鑑，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，漁人**忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺」請用學過的數學知識回答這個問題．
18．如圖，飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到乙個男孩頭頂正上方4800m處，過了10s，飛機距離這個男孩頭頂5000m，飛機每秒飛行多少公尺？
19．如圖四邊形abcd是一塊草坪，量得四邊長ab=3m，bc=4m，dc=12m，ad=13m，∠b=90°，求這塊草坪的面積．
20．如圖，∠aob=90°，oa=45cm，ob=15cm，一機械人在點b處看見乙個小球從點a出發沿著ao方向勻速滾向點o，機械人立即從點b出發，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點c處截住了小球．如果小球滾動的速度與機械人行走的速度相等，那麼機械人行走的路程bc是多少？
21．如圖，兩個小滑塊a、b由一根連桿連線，a、b分別可以在互相垂直的兩個滑道上滑動．開始時滑塊a距o點16cm，滑塊b距o點12cm．那麼滑塊a向下滑動6cm時，求滑塊b向外滑動了多少cm？（結果精確到0.1cm，其中≈1.
414，
≈1.732）
22．「希望中學」有一塊三角形形狀的花圃abc，現可直接測量到∠a=30°，ac=40 m，bc=25 m，請求出這塊花圃的面積．
23．如圖，一艘帆船由於風向的原因，先向正東方航行了160千公尺，然後向正北方航行了120千公尺，這時它離出發點有多遠？
24．如圖，乙個長方體形的木櫃放在牆角處（與牆面和地面均沒有縫隙），有乙隻螞蟻從櫃角a處沿著木櫃表面爬到櫃角c1處．
（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；
（2）當ab=4，bc=4，cc1=5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長；
（3）求點b1到最短路徑的距離．
25．請閱讀下列材料：
問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑、高均為5cm，bc是底面直徑，求乙隻螞蟻從a點出發沿圓柱表面爬行到點c的最短路線．小明設計了兩條路線：
路線1：側面展開圖中的線段ac．如下圖（2）所示：
設路線1的長度為l1，則l12=ac2=ab2+ 2 =52+（5π）2=25+25π2
路線2：高線ab+底面直徑bc．如上圖（1）所示：
設路線2的長度為l2，則l22=（ab+bc）2=（5+10）2=225
l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25（π2-8）＞0
∴l12＞l22，∴l1＞l2
所以要選擇路線2較短．
（1）小明對上述結論有些疑惑，於是他把條件改成：「圓柱的底面半徑為1cm，高ab為5cm」繼續按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：
路線1：l12=ac2
路線2：l22=（ab+bc）2
∵l12l22，
∴l1l2（填＞或＜）
∴選擇路線填1或2）較短．
（2）請你幫小明繼續研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為r，高為h時，應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點a出發沿圓柱表面爬行到c點的路線最短．
答案：解答題
1．考點：勾股定理的應用．
專題：應用題；壓軸題．
分析：仔細分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結果．連線bd，在直角三角形abd中可求得bd的長，由bd、cd、bc的長度關係可得三角形dbc為一直角三角形，dc為斜邊；由此看，四邊形abcd由rt△abd和rt△dbc構成，則容易求解．
解答：解：連線bd，
在rt△abd中，bd2=ab2+ad2=32+42=52，
在△cbd中，cd2=132bc2=122，
而122+52=132，
即bc2+bd2=cd2，
∴∠dbc=90°，
四邊形abcd=s△bad+s△dbc=adab+dbbc，
=×4×3××12×5=36．
所以需費用36×200=7200（元）．
2．考點：勾股定理的應用；三角形的面積；勾股定理的逆定理．
專題：應用題．
分析：連線ac，運用勾股定理逆定理可證△acd，△abc為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個直角三角形的面積差．
解答：解：連線ac，
則在rt△adc中，
ac2=cd2+ad2=122+92=225，
∴ac=15，在△abc中，ab2=1521，
ac2+bc2=152+362=1521，
∴ab2=ac2+bc2，
∴∠acb=90°，
∴s△abc-s△acd=acbc-adcd=×15×36-×12×9=270-54=216．
答：這塊地的面積是216平方公尺．
點評：解答此題的關鍵是通過作輔助線使圖形轉化成特殊的三角形，可使複雜的求解過程變得簡單．
3．考點：勾股定理的應用．
專題：應用題．
分析：應用勾股定理求出ac的高度，以及b′c的距離即可解答．
解答：解：（1）由題意，得ab2=ac2+bc2，得
ac===24（公尺）．
（2）由a′b′2=a′c2+cb′2，得
b′c====15（公尺）．
∴bb′=b′c-bc=15-7=8（公尺）．
答：梯子底部在水平方向不是滑動了4公尺，而是8公尺．
點評：本題考查正確運用勾股定理．善於觀察題目的資訊是解題以及學好數學的關鍵．
32 勾股定理
內容概述 1.勾股定理 畢達哥拉斯定理 直角三角形中的兩直角邊平方後的和等於斜邊的平方 西元前500年古希臘的畢達哥拉斯發現了勾股定理後,曾宰牛百頭,廣設盛筵以示慶賀 2.西元前11世紀的 周髀算經 中提到 故折矩,以為句廣三,股修 四 徑修五 既方之.外半卿一矩,環而共盤.得成 三 四 五 三國時...
19 9 2 勾股定理 勾股定理的應用
19.9 2 勾股定理 勾股定理的應用 要點歸納 應用勾股定理解決實際問題，要注意分析題目的條件，關注其中是否存在直角三角形。如果存在直角三角形，根據所給的三邊的條件，建立方程，從而使問題解決 如果問題中沒有直角三角形，可以通過新增輔助線構造出直角三角形，尋求定量關係，再根據勾股定理建立相應的方程。...
18章勾股定理
第18章勾股定理小結與複習2 一 認真選一選，你一定很棒！1 分別以下列五組數為乙個三角形的邊長 6，8，10 13，5，12 1，2，3 9，40，41 3，4，5.其中能構成直角三角形的有 組 a 2b 3c 4d 5 2 已知 abc中，a b c，則它的三條邊之比為 a 1 1 b 1 2 ...