也就是說，
設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼
a的平方+b的平方=c的平方 a^2＋b^2＝c^2
勾股定理現發現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。
勾股定理其實是餘弦定理的一種特殊形式。
我國古代著名數學家商高說：「若勾三，股四，則弦五。」它被記錄在了《九章算術》中。
勾股陣列
滿足勾股定理方程 a^2＋b^2＝c^2;的正整
勾股定理
陣列(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一組勾股陣列。
由於方程中含有3個未知數，故勾股陣列有無數多組。
勾股陣列的通式：
a=m^2-n^2
b=2mn
c=m^2+n^2
(m>n,m,n為正整數）
推廣 1、如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量，將兩直角邊看作在平面直角座標系座標軸上的投影，則可以從另乙個角度考察勾股定理的意義。即，向量長度的平方等於它在其所在空間一組正交基上投影長度的平方之和。
2、勾股定理是餘弦定理的特殊情況。
編輯本段勾股定理
定理 如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那麼 a^2+b^2=c^2;； 即直角三角形兩直角邊長的平方和等於斜邊長的平方。
古埃及人用這樣的方法畫直角
如果三角形的三條邊a，b，c滿足a^2+b^2=c^2;，還有變形公式：ab=根號（ac²+bc²），如：一條直角邊是a，另一條直角邊是b，如果a的平方與b的平方和等於斜邊c的平方那麼這個三角形是直角三角形。
（稱勾股定理的逆定理）
勾股定理的**
畢達哥拉斯樹是乙個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。
畢達哥拉斯
在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外乙個證明[1]。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。
常用勾股陣列(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25)
有關勾股定理書籍
《數學原理》人民教育出版社
《**勾股定理》同濟大學出版社
《優因培教數學》北京大學出版社
《勾股書籍》 新世紀出版社
《九章算術一書》
《優因培揭秘勾股定理》江西教育出版社
《幾何原本》 （原著：歐幾里得）人民**出版社
畢達哥拉斯樹
畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的乙個可以無限重複的圖形。又因為重複數次後
畢達哥拉斯樹
的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。
直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。
兩個相鄰的小正方形面積的和等於相鄰的乙個大正方形的面積。
利用不等式a²+b²≥2ab可以證明下面的結論：
三個正方形之間的三角形，其面積小於等於大正方形面積的四分之一，大於等於乙個小正方形面積的二分之一。
常見的勾股數
順序：勾，股，弦
3，4，5
6，8，10
5，12，13
7，24，25
8，15，17
9，40，41
勾、股、弦的比例
1：√3：2
編輯本段最早的勾股定理應用
從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發現「勾股定理」的，這裡只舉一例。例如西元前2023年的一塊泥板（編號為bm85196）上第九題，大意為「有一根長為5公尺的木樑（ab）豎直靠在牆上，上端（a）下滑一公尺至d。問下端（c）離牆根（b）多遠？
」他們解此題就是用了勾股定理，如圖
設ab=cd=l=5公尺，bc=a，ad=h=1公尺，則bd=l-h=5-1公尺=4公尺
∵a=√[l^2-（l-h)^2]=√[5^2-(5-1)^2]=3公尺，∴三角形bdc正是以3、4、5為邊的勾股三角形。
編輯本段《周髀算經》中勾股定理的公式與證明
《周髀算經》算經十書之一。約成書於西元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分曆法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。
首先，《周髀算經》中明確記載了勾股定理的公式：「若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日」（《周髀算經》上捲二）
而勾股定理的證明呢，就在《周髀算經》上捲一[2] ——
昔者周公問於商高曰：「竊聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而公升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？」
商高曰：「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。
既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。
」周公對古代伏羲（包犧）構造周天歷度的事蹟感到不可思議（天不可階而公升，地不可得尺寸而度），就請教商高數學知識從何而來。於是商高以勾股定理的證明為例，解釋數學知識的由來。
《周髀算經》證明步驟
「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。」：解釋發展脈絡——數之法出於圓（圓周率三）方（四方），圓出於方（圓形面積=外接正方形*圓周率/4），方出於矩（正方形源自兩邊相等的矩），矩出於九九八十一（長乘寬面積計算依自九九乘法表）。
「故折矩①，以為句廣三，股修四，徑隅五。」：開始做圖——選擇乙個勾三（圓周率三）、股四（四方） 的矩，矩的兩條邊終點的連線應為5（徑隅五）。
「②既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。」：這就是關鍵的證明過程——以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方），根據矩的弦外面再畫乙個矩（曲尺，實際上用作直角三角），將「外半其一矩」得到的三角形剪下環繞複製形成乙個大正方形，可看到其中有邊長三勾方、邊長四股方、邊長五弦方三個正方形。
「兩矩共長③二十有五，是謂積矩。」：此為驗算——勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來看，大正方形減去四個三角形面積後為弦方，再是大正方形減去右上、左下兩個長方形面積後為勾方股方之和。
因三角形為長方形面積的一半，可推出四個三角形面積等於右上、左下兩個長方形面積，所以勾方+股方=弦方。
注意：① 矩，又稱曲尺，l型的木匠工具，由長短兩根木條組成的直角。古代「矩」指l型曲尺，「矩形」才是「矩」衍生的長方形。
② 「既方之，外半其一矩」此句有爭議。清代四庫全書版定為「既方其外半之一矩」，而之前版本多為「既方之外半其一矩」。經陳良佐[3]、李國偉[4]、李繼閔[5]、曲安京[1]等學者研究，「既方之，外半其一矩」更符合邏輯。
③ 長指的是面積。古代對不同維度的量綱比較，並沒有發明新的術語，而統稱「長」。趙爽注稱:「兩矩者, 句股各自乘之實。共長者, 並實之數。
由於年代久遠，周公弦圖失傳，傳世版本只印了趙爽弦圖（造紙術在漢代才發明）。所以某些學者誤以為商高沒有證明（只是說了一段莫名其妙的話），後來趙爽才給出證明。
其實不然，摘錄趙爽注釋《周髀算經》時所做的《句股圓方圖》[2]——「句股各自乘, 並之為弦實, 開方除之即弦。案：弦圖又可以句股相乘為朱實二, 倍之為朱實四, 以句股之差自相乘為中黃實, 加差實亦成弦實。
」趙爽弦圖
注意「案」中的「弦圖又可以」、「亦成弦實」，「又」「亦」二字表示趙爽認為勾股定理還可以用另一種方法證明，於是他給出了新的證明。
下為趙爽證明——
青朱出入圖
三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方、青方並成弦方。依其面積關係有a^2+b^2=c^2.
由於朱方、青方各有一部分在玄方內，那一部分就不動了。
以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以盈補虛，只要把圖中朱方（a2）的i移至i′，青方的ii移至ii′，iii移至iii′，則剛好拼好乙個以弦為邊長的正方形（c……2 ）．由此便可證得a^2+b^2=c^2
編輯本段伽菲爾德證明勾股定理的故事
2023年乙個週末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的乙個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲**。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在幹什麼。
只見乙個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著乙個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在幹什麼？那個小男孩頭也不抬地說：
「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」伽菲爾德答道：「是5呀。
」小男孩又問道：「如果兩條直角邊分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？」伽菲爾德不加思索地回答到：
「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方．」小男孩說：「先生，你能說出其中的道理嗎？」伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裡很不是滋味。
，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心**小男孩給他出的難題。他經過反覆思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。
如下:解：在網格內，以兩個直角邊為邊長的小正方形面積和，等於以斜邊為邊長的的正方形面積。
勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，
a^2+b^2=c^2;
說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為「勾」，較長直角邊為「股」，斜邊稱為「弦」，所以把這個定理稱為「勾股定理」。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關係。
舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5
則說明斜邊為5。
編輯本段勾股定理的多種證明方法
這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（elisha scott loomis）的 pythagorean proposition（ 《畢達哥拉斯命題》）一書中總共提到367種證明方式。
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勾股定理的逆定理
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