勾股定理的逆定理

一、複習回顧基礎知識

鞏固練習;

1、等邊三角形的高為2，則它的面積是　　　　　　。

2、直角三角形兩直角邊分別為6cm和８cm，則斜邊上的中線長為　　　　　　。

3、如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊ac=6cm，

ｅbc=8cm，現將直角邊ac沿直線 ad折迭，使它落在斜邊ab

上，且與ae重合，則cd等於

4、如圖，在矩形abcd中，ab=8，bc=4，將矩形沿

對角線ac折迭，點d落在點d′處，

求重迭部分△a fc的面積．

d，5、如下圖，今年的冰雪災害中，一棵大樹在離地面3公尺處折斷，樹的頂端落在離樹杆底部4公尺處，那麼這棵樹折斷之前的高度是公尺.

一、本節基礎知識

1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,那麼這個三角形是直角三角形.

2、命題與原命題：勾股定理的逆定理的題設和結論恰好與勾股定理的題設和結論相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題，如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。

3、逆定理：一般地，如果乙個定理的逆命題經過證明是正確的，它也是乙個定理，稱這兩個定理互為逆定理。

4、勾股數：3、4、5這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。

鞏固練習：

1．如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那麼這個三角形是_________三角形，我們把這個定理叫做勾股定理的

2．在兩個命題中，如果第乙個命題的題設是第二個命題的結論，而第乙個命題的結論是第二個命題的題設，那麼這兩個命題叫做_________如果把其中乙個命題叫做原命題，那麼另乙個命題叫做它的

3．分別以下列四組數為乙個三角形的邊長：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能構成直角三角形的有填序號)

4．若△abc中，(b－a)(b＋a)＝c2，則∠b

5．如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的△abc是________三角形．

6．若乙個三角形的三邊長分別為1、a、8(其中a為正整數)，則以a－2、a、a＋2為邊的三角形的面積為________．

7．寫出下列命題的逆命題，並判斷逆命題的真假．

(1)兩直線平行，同位角相等．

(2)若a＞b，則a2＞b2．

二、經典例題、針對訓練、延伸訓練

考點一證明三角形是直角三角形

例1、已知：如圖，在△abc中，cd是ab邊上的高，且cd2=ad·bd.

求證：△abc是直角三角形.

針對訓練：1、已知：在△abc中，∠a、∠b、∠c的對邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷△abc的形狀.

2(如圖) 在正方形abcd中，f為dc的中點，e為bc上一點，且ec=bc，

求證：efa=90.

3、如圖，已知：在δabc中，c=90，m是bc的中點，mdab於d，求證：ad2=ac2+bd2.

考點二運用勾股定理的逆定理進行計算

例、如圖，等腰△abc中，底邊bc＝20，d為ab上一點，cd＝16，bd＝12，

求△abc的周長。

針對訓練：1、.已知：如圖，四邊形abcd，ad∥bc，ab=4，bc=6，cd=5，ad=3.

求：四邊形abcd的面積.

3.已知：如圖，de=m,bc=n,ebc與dcb互餘，求bd2+cd2.

考點三、與勾股定理逆定理有關的**和應用

例1.閱讀下列解題過程：已知a、b、c為△abc的三邊，且滿足a2c2－b2c2=a4－b4，試判斷△abc的形狀.

解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(a)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(b)∴c2=a2+b2，（c)∴△abc是直角三角形.

問：①上述解題過程是從哪一步開始出現錯誤的？請寫出該步的代號_______；

②錯誤的原因是本題的正確結論是

例2. 學習了勾股定理以後,有同學提出「在直角三角形中,三邊滿足,或許其他的三角形三邊也有這樣的關係」.讓我們來做乙個實驗！

(1)畫出任意的乙個銳角三角形,量出各邊的長度(精確到1公釐),較短的兩條邊長分別是______mm； _______mm；較長的一條邊長_______mm。

比較(填寫「＞」,「＜」,或「＝」)；

(2)畫出任意的乙個鈍角三角形,量出各邊的長度(精確到1公釐),較短的兩條邊長分別是______mm； _______mm；較長的一條邊長_______mm。

比較(填寫「＞」,「＜」,或「＝」)；

(3)根據以上的操作和結果,對這位同學提出的問題, 你猜想的結論是:

⑷對你猜想與的兩個關係，任選其中乙個結論利用勾股定理證明。

例3.如圖，南北向mn為我國的領海線，即mn以西為我國領海，以東為公海.上午9時50分，我國反走私艇a發現正東方有一走私艇c以每小時13海浬的速度偷偷向我領海開來，便立即通知正**上巡邏的我國反走私艇b密切注意.

反走私艇a通知反走私艇b:a和c兩艇的距離是13海浬，a、b兩艇的距離是5海浬.反走私艇b測得距離c艇是12海浬，若走私艇c的速度不變，最早會在什麼時間進入我國領海？

針對訓練：1觀察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有沒有發現其中的規律？

請用含n的代數式表示此規律並證明，再根據規律寫出接下來的式子．

2、如圖所示，有一塊塑料模板abcd，長為10㎝，寬為4㎝，將你手中足夠大的直角三角板phf的直角頂點p落在ad邊上(不與a、d重合)並在ad上平行移動：

①能否使你的三角板兩直角邊分別通過點b與點c？若能，請你求出這時ap的長；若不能，請說明理由.

②再次移動三角板位置，使三角板頂點p在ad上移動，直角邊ph始終通過點b，另一直角邊pf與dc的延

長線交於點q，與bc交於點e，能否使ce=2㎝？若能，請你求出這時ap的長；若不能，請說明理由.

3.喜歡爬山的同學都知道,很多名山上都有便於遊人觀光的索道,如圖所示,山的高度ac為800 m,從山上a與山下b處各建一索道口,且bc=1 500 m,一遊客從山下索道口坐纜車到山頂,知纜車每分鐘走50 m,那麼大約多長時間後該遊客才能到達山頂?說明理由.

延伸訓練：如圖，在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，p是△abc內的一點，且pb=1，pc=2，pa=3，求∠bpc的度數．

總結提高：

三、上節習題講評

四、課後作業

1.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）

a.三內角之比為1∶2∶3 b.三邊長的平方之比為1∶2∶3

c.三邊長之比為3∶4∶5 d.三內角之比為3∶4∶5

2.如圖18－2－4所示,有乙個形狀為直角梯形的零件abcd，ad∥bc，斜腰dc的長為10 cm，∠d=120°，則該零件另一腰ab的長是________ cm（結果不取近似值）.

圖18－2－4圖18－2－5圖18－2－6

3.如圖18－2－5，以rt△abc的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為s1、s2、s3，且s1=4，s2=8，則ab的長為

4.如圖18－2－6，已知正方形abcd的邊長為4，e為ab中點，f為ad上的一點，且af=ad，試判斷△efc的形狀.

5.乙個零件的形狀如圖18－2－7，按規定這個零件中∠a與∠bdc都應為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：ad=4，ab=3,bd=5，dc=12 , bc=13，這個零件符合要求嗎？

圖18－2－7

6.已知△abc的三邊分別為k2－1，2k，k2+1（k＞1），求證：△abc是直角三角形.

7.已知a、b、c是rt△abc的三邊長，△a1b1c1的三邊長分別是2a、2b、2c，那麼△a1b1c1是直角三角形嗎？為什麼？

8、.如圖18－2－9所示，在平面直角座標系中，點a、b的座標分別為a（3，1），b（2，4），△oab是直角三角形嗎？借助於網格，證明你的結論.

9、若△abc的三邊長為a、b、c，根據下列條件判斷△abc的形狀。

（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c

(2) a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0

10．如圖，在△abc中，d為bc邊上的一點，已知ab＝13，ad＝12，ac＝15，bd＝5，求cd的長．

勾股定理的逆定理

勾股定理逆定理

勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理教案

相關推薦