1 原函式法
此法是將結論變形並向羅爾定理的結論靠攏，湊出適當的原函式作為輔助函式，主要思想分為四點1)將要證的結論中的換成 ；(2)通過恒等變形將結論化為易消除導數符號的形式；(3)用觀察法或積分法求出原函式（等式中不含導數符號），並取積分常數為零；(4)移項使等式一邊為零，另一邊即為所求輔助函式 . 例1:證明柯西中值定理分析:
在柯西中值定理的結論中令 ，得 ，先變形為再兩邊同時積分得 ，令 ，有故為所求輔助函式. 例2:若 , , ,…, 是使得的實數.
證明方程在（0，1）內至少有一實根. 證:由於並且這一積分結果與題設條件和要證明的結論有聯絡，所以設 （取 ），則 1） 在[0，1]上連續 2） 在（0，1）內可導 3） =0， 故滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理，存在使 ，即亦即 .
這說明方程在（0，1）內至少有實根 .
2 積分法對一些不易湊出原函式的問題，可用積分法找相應的輔助函式. 例3:設在[1，2]上連續，在（1，2）內可導， ， .
證明存在使 . 分析:結論變形為 ，不易湊成 .
我們將換為 ，結論變形為 ，積分得: ，即 ，從而可設輔助函式為 ，有 .本題獲證.
例4:設函式 ， 在上連續，在內可微， .證明存在 ，使得:
. 證:將變形為 ，將換為 ，則 ，兩邊關於積分，得:
，所以 ，其中 ，由可得 .由上面積分的推導可知， 為一常數 ，故其導數必為零，從整個變形過程知，滿足這樣結論的的存在是不成問題的.因而令 ，易驗證其滿足羅爾定理的條件，原題得證.
3 幾何直觀法此法是通過幾何圖形考查兩函式在區間端點處函式值的關係，從而建立適當的輔助函式. 例5:證明拉格朗日中值定理.
分析:通過弦兩個端點的直線方程為 ，則函式與直線ab的方程之差即函式在兩個端點處的函式值均為零，從而滿足羅爾定理的條件故上式即為要做輔助函式. 例6:
若在上連續且 .試證在內至少有一點 ，使 . 分析:
由圖可看出，此題的幾何意義是說，連續函式的圖形曲線必跨越這一條直線，而兩者的交點的橫座標 ，恰滿足 .進而還可由圖知道，對上的同一自變數值 ，這兩條曲線縱座標之差構成乙個新的函式 ，它滿足 <0, >0,因而符合介值定理的條件.當為的乙個零點時， 恰等價於 .
因此即知證明的關鍵是構造輔助函式 .
4 常數k值法此方法構造輔助函式的步驟分為以下四點: 1） 將結論變形，使常數部分分離出來並令為 . 2） 恒等變形使等式一端為及構成的代數式，另一端為及構成的代數式.
3）觀察分析關於端點的表示式是否為對稱式.若是，則把其中乙個端點設為 ，相應的函式值改為 . 4）端點換變數的表示式即為輔助函式 .
例7:設在上連續，在內可導， ，試證存在一點 ，使等式成立. 分析:
將結論變形為 ，令 ，則有 ，令 ，可得輔助函式 . 例8:設在上存在，在 ，試證明存在 ，使得 .
分析:令 ，於是有 ，上式為關於 ， ， 三點的輪換對稱式，令 （or: ，or:
），則得輔助函式 .
5 分析法分析法又叫倒推法，就是從欲證的結論出發借助於邏輯關係匯出已知的條件和結論. 例9:設函式在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，證明在（0，1）內存在一點 ，使得 .
分析:所要證的結論可變形為: ，即 ，因此可建構函式，則對與在[0，1]上應用柯西中值定理即可得到證明.
例10:設函式在[0,1]上連續，在（0，1）內可導，且 =0，對任意有 .證明存在一點使 （ 為自然數）成立.
分析:欲證其成立，只需證由於對任意有 ，故只需證: 即 ，於是引入輔助函式 （ 為自然數）.
例11:設函式在區間［0，+ ］上可導，且有個不同零點: .
試證在[0，+ ]內至少有個不同零點.（其中， 為任意實數） 證明:欲證在[0，+ ）內至少有個不同零點，只需證方程 =0在[0，+ ]內至少有個不同實根.
因為， ， ，故只需證方程在內至少有個不同實根. 引入輔助函式 ，易驗證在區間上滿足羅爾定理的條件，所以，分別在這個區間上應用羅爾定理，得 ，其中且以上說明方程在0，+ ]內至少有個不同實根，從而證明了方程 =0在[0，+ ]內至少有個不同實根。
6 待定係數法在用待定係數法時，一般選取所證等式中含的部分為 ，再將等式中乙個端點的值換成變數 ，使其成為函式關係，等式兩端做差構造輔助函式 ，這樣首先可以保證 =0，而由等式關係 =0自然滿足，從而保證滿足羅爾定理條件，再應用羅爾定理最終得到待定常數與之間的關係. 例12:設是上的正值可微函式，試證存在 ，使 .
證明:設 ，令容易驗證在上滿足羅爾定理條件，由羅爾定理，存在使 ，解得 ，故 . 例13:
設函式在上連續，在內可導，則在內至少存在一點使 . 證明:將所證等式看作 ，設 ，令 ，則滿足羅爾定理條件，由羅爾定理得，存在一點 ，使 ，即 ，若 =0，則 ，結論成立；若 ，則 ，從而有 .
例14:設 ，則存在使 . 分析:
對於此題設作函式 .應用羅爾定理可得存在 ，使 ，即 ，從而 ，這樣並不能證明原結論，遇到這種情況，說明所作的輔助函式不合適，則需要將所證明的等式變形，重新構造輔助函式. 證明:
將所證等式變形為 ，設 ，令 ，則滿足羅爾定理條件，用羅爾定理可得存在 ，使 ，即 ，於是 ，故 . 總之，證明微分中值命題的技巧在於:一是要仔細觀察，適當變換待證式子；二是要認真分析，巧妙構造輔助函式.
抓住這兩點，即可順利完成證明.
中值定理的證明
第四講中值定理的證明技巧 一 考試要求 1 理解閉區間上連續函式的性質 最大值 最小值定理，有界性定理，介值定理 並會應用這些性質。2 理解並會用羅爾定理 拉格朗日中值定理 泰勒定理，了解並會用柯西中值定理。掌握這四個定理的簡單應用 經濟 3 了解定積分中值定理。二 內容提要 1 介值定理 根的存在...
中值定理的證明題
第五講中值定理的證明技巧 一 考試要求 1 理解閉區間上連續函式的性質 最大值 最小值定理，有界性定理，介值定理 並會應用這些性質。2 理解並會用羅爾定理 拉格朗日中值定理 泰勒定理 了解並會用柯西中值定理。掌握這三個定理的簡單應用 經濟 3 了解定積分中值定理。二 內容提要 1 介值定理 根的存在...
微分中值定理的證明題
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又，...