1 微分中值定理的基本內容
微分中值定理是反映導數值與函式值之間的聯絡的三個定理 ,它們分別是羅爾()中值定理 、拉格朗日()中值定理和柯西()中值定理 .具體內容如下 :
1.1 羅爾中值定理
如果函式滿足:
(1)在閉區間上連續 ;
(2)在開區間內可導 ;
(3)在區間端點的函式值相等,即,那麼在區間內至少有一點,使函式在該點的導數等於零,即.
1.2 拉格朗日中值定理
如果函式滿足：
(1)在閉區間上連續;
(2)在開區間內可導.那麼,在內至少有一點,使等式
成立.1.3 柯西中值定理
如果函式及滿足:
(1)在閉區間上都連續;
(2)在開區間內可導;
(3)和不同時為零;
(4)則存在,使得
2 三定理的證明
2.1 羅爾中值定理的證明
根據條件在閉區間上連續和閉區間上連續函式的最大值和最小值定理,若函式在閉區間上連續,則函式在閉區間上能取到最小值和最大值,即在閉區間上存在兩點和,使
且對任意,有.下面分兩種情況討論:
①如果,則在上是常數,所以對,有.即內任意一點都可以作為,使.
②如果,由條件,在上兩個端點與的函式值與,不可能同時乙個取最大值乙個取最小值,即在開區間內必定至少存在一點,函式在點取最大值或最小值,所以在點必取區域性極值,由費爾馬定理,有.
2.2 拉格朗日中值定理的證明
作輔助函式
顯然, ,且在滿足羅爾定理的另兩個條件.故存在,使
移項即得
2.3 柯西中值定理的證明
作輔助函式
易見在上滿足羅爾定理條件,故存在,使得
因為(否則由上式也為零）,所以把上式改寫成
證畢3 三定理的幾何解釋和關係
3.1 幾何解釋
羅爾中值定理在曲線上存在這樣的點,過該點的切線平行於過曲線兩端點的弦(或軸).
拉格朗日中值定理在曲線上存在這樣的點,過該點的切線平行於過曲線兩端點的弦.
柯西中值定理在曲線(其中為引數,)存在一點,使曲線過該點的切線平行於過曲線兩端點的弦.
綜上所述,這三個中值定理歸納起來,用幾何解釋為:
在區間上連續且除端點外每一點都存在不垂直於軸的切線的曲線,它們有個共同的特徵在曲線上至少存在一點,過該點的切線平行於曲線端點的連線.
3.2 三定理之間的關係
從這三個定理的內容不難看出它們之間具有一定的關係.利用推廣和收縮的觀點來看這三個定理.在拉格朗日中值定理中,如果,則變成羅爾中值定理,在柯西中值定理中,如果,則變成拉格朗日中值定理.
因此,拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例.總的來說,這三個定理既單獨存在,相互之間又存在著聯絡.
從上面的討論中可以總結得到,羅爾中值定理是這一塊內容的基石,而拉格朗日中值定理則是這一塊內容的核心,柯西中值定理則是這一塊內容的推廣應用.
4 三定理的深層闡述
4.1 羅爾中值定理
4.1.1 羅爾中值定理結論
(1) 符合羅爾中值定理條件的函式在開區間內必存在最大值或最小值.
(2) 在開區間內使的點不一定是極值點.
例如函式在閉區間上滿足羅爾定理的三個條件, 由,顯然,有成立,但不是的極值點.如果加強條件, 可得如下定理:
定理1 若函式在閉區間上滿足羅爾中值定理的三個條件,且在開區間內只有唯一的乙個點,使成立,則點必是的極值點.完全按照羅爾中值定理的證法,即可證得使成立的唯一點就是在內的最值點,當然是極值點.
4.1.2 逆命題不成立
羅爾中值定理的逆命題設函式在閉區間上連續,在開區間內可導,若在點在處,有,則存在,使得.
例函式, ,顯然在上連續,在內可導, ,但是不存在, ,使得.
但如果加強條件,下述定理成立:
定理2 設函式在閉區間上連續,在開區間內可導,且導函式是嚴格單調函式,則在點處,有的充分必要條件是存在, ,使得.
4.2 拉格朗日中值定理
4.2.1 點不是任意的
拉格朗日中值定理結論中的點不是任意的.
請看下例:
問題若函式在(為任意實數)上可導,且(為常數),則這一命題正確嗎?
證明設為任意正數,由題設知在閉區間上連續,在開區間內可導,由拉格朗日中值定理知,至少存在一點,使得,又因為,故.由於夾在與之間,當時,也趨於,於是.
上述證明是錯誤的,原因在於是隨著的變化而變化,即,但當時,未必連續地趨於,可能以某種跳躍方式趨於,而這時就不能由趨於推出了.
例如函式滿足,且在內存在,但並不存在,當然不會成立.
4.2.2 條件補充
定理3 若函式在(為任意實數)上可導,且存在,若(為常數),則.
4.3 柯西中值定理
柯西中值定理的弱逆定理
設在上連續,在內可微,且嚴格單調, ,則對於,使得
成立.證明:對,作輔助函式
.顯然,在上連續,在內可微,並且由嚴格單調易知也嚴格單調.由拉格朗日定理知,對於,使得
成立.而
所以有即
整理得證畢.
5 定理的應用
三個定理的應用主要有討論方程根的存在性、求極限、證明等式不等式、求近似值等.以下主要以例題的形式分別展示三個定理的應用.
5.1 羅爾中值定理的應用
例1 設且滿足,證明：方程在內至少有乙個實根.
證明: 作輔助函式
則, ,在上連續,在內可導,故滿足羅爾中值定理條件,因此存在,使,又
由此即知原方程在內有乙個實根.
例2 設函式在上連續,在內可導,且.
試證: 在內至少存在一點,使得.
證明：選取輔助函式,則在上連續,在內可導, ,由定理,至少存在一點,使
因即或.例 3 設函式於有窮或無窮區間中的任意一點有有限的導函式,且,證明:,其中為區間中的某點.
證明: 當為有窮區間時,設
其中.顯然在上連續,在內可導,且有,故由定理可知,在內至少存在一點,使.而在內, ,所以.
下設為無窮區間,若,可設,則對由函式與組成的復合函式在有窮區間內仿前討論可知:至少存在一點,使,其中,由於,故.若為有限數, ,則可取,而令.
所以,對復合函式在有窮區間上仿前討論,可知存在使,其中,顯然由於,故.對於,為有限數的情形,可類似地進行討論.
5.2 拉格朗日中值定理的應用
例 4 證明時,
證明： 設, 則在上滿足中值定理
又因為所以所以即
例 5 已知,試求.
解： 令,則對於函式在上滿足定理可得：
, 所以
當時,把得到的上述個不等式相加得：
即 故
所以例 6 求的近似值.
解： 是在處的值, 令, 則, 由中值定理,存在一點
可取近似計算,得
5.3 柯西中值定理的應用
例 7 設,對的情況,求證.
證明：當時結論顯然成立,當時,取或,在該區間設
,由定理得：
或即當時, , 即又
故即當時,,
則 故即
證畢例 8 設在上連續,內可導, , ,
試證,使得.
證明： 在等式兩邊同乘,則等價於
,要證明此題, 只需要證明上式即可.
在上,取, ,當時,應用中值定理
即在上,再取, ,當時,應用中值定理即即
即例 9 設函式在上連續,在上可導.試證:存在使得
證明： 設,顯然它在上與一起滿足柯西中值定理條件,所以存在,使得
整理後即得
6 定理的應用總結
6.1 三定理的應用關係
一般來說, 能用定理證得的也可用定理或定理證得,因此,在解題的過程中根據問題本身的特點能選取合適的中值定理,以取得事半功倍的效果.
如上面例9 利用中值定理.令
,則,所以存在使得,
即整理後即得所欲證明.
上面的這個例子還不難看出在利用中值定理和中值定理證明的同乙個不等式中,用中值定理時輔助函式的構造顯然需要更多的觀察和技術.相比之下,用中值定理則要簡單得多.
6.2 定理的應用方法技巧
從定理應用的例題中不難發現,微分中值定理大多都是通過構造輔助函式來完成證明的.有的可以從函式本身出發構造輔助函式,有的需要利用指數、對數、三角函式等初等函式來構造輔助函式,還有的要根據需要證明的目標出發適當構造輔助函式.可見,在微分中值定理的應用中,廣泛地使用輔助函式是做證明題的關鍵,在學習時應該掌握一些常用的構造輔助函式方法.
在做證明題時一般先從要證的結論出發,觀察目標式的特徵,分析目標式可能要用的輔助函式,然後對目標式作相應的變形,這是構造輔助函式的關鍵.有了輔助函式就可以直接對輔助函式應用微分中值定理得到結論.
7 結束語
微分中值定理的證明題
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又，...
高數微分中值定理證明
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即 即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又...
微分中值定理的證明題1
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又，...