第五講中值定理的證明技巧
一、 考試要求
1、 理解閉區間上連續函式的性質（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），並會應用這些性質。
2、 理解並會用羅爾定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解並會用柯西中值定理。掌握這三個定理的簡單應用（經濟）。
3、 了解定積分中值定理。
二、 內容提要
1、 介值定理（根的存在性定理）
（1）介值定理在閉區間上連續的函式必取得介於最大值 m 與最小值m之間的任何值.
（2）零點定理
設f(x)在[a、b]連續，且f(a)f(b)＜0，則至少存在一點,c (a、b)，使得f(c)=0
2、 羅爾定理
若函式滿足：
（1）在上連續
（2）在內可導
（3）則一定存在使得
3、 拉格朗日中值定理
若函式滿足：
（1）在上連續
（2）在內可導
則一定存在，使得
4、 柯西中值定理
若函式滿足:
（1）在上連續
（2）在內可導
（3）則至少有一點使得
5、 泰勒公式
如果函式在含有的某個開區間內具有直到階導數則當在內時可以表示為的乙個次多項式與乙個餘項之和，即
其中 (介於與之間)
在需要用到泰勒公式時，必須要搞清楚三點：
1．展開的基點；
2．展開的階數；
3．餘項的形式．
其中餘項的形式，一般在求極限時用的是帶皮亞諾餘項的泰勒公式，在證明不等式時用的是帶拉格朗日餘項的泰勒公式．
而基點和階數，要根據具體的問題來確定．
6、 積分中值定理
若f(x)在[a、b]上連續，則至少存在一點c∈[a、b]，使得
f(x)dx=f(c)(b-a)
三、 典型題型與例題
題型一 、與連續函式相關的問題（證明存在使或方程f(x)=0有根）
方法：大多用介值定理 f(x)滿足：在[a,b]上連續；f(a)f(b)<0.
思路：1）直接法
2）間接法或輔助函式法
例1、設在[a,b]上連續，，證明存在，使得
例2、設在[a,b]上連續、單調遞增，且，證明存在使得
例3、設在[a,b]上連續且，證明存在使得 。
例4、設在[a,b]上連續，證明存在使得
例5、 設f(x)在[0,1]上連續，且f(x)<1. 證明：在(0,1)內有且僅有乙個實根。
例6、設實數滿足關係式，證明方程
，在內至少有一實根。
例7、（0234，6分）
設函式f(x),g(x)在[a,b]上連續，且g(x)>0,利用閉區間上連續函式的性質，證明存在一點使得
題型二、 驗證滿足某中值定理
例8、驗證函式，在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理，並求滿足定理的
題型三、 證明存在, 使(n=1,2,…)
方法：思路：
例9、設在[a,b]上可導且，證明至少存在乙個
使得例10、設在[0,3]上連續，在（0,3）內可導，且，證明存在乙個使得
例11、設在[0,2]上連續，在（0，2）內具有二階導數且，證明存在使得
題型四、 證明存在, 使
方法：思路：
(1) 用羅爾定理
1) 原函式法:
步驟：例12、設在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且，求證存在使得
例13、（0134）設f(x)在[0,1]上連續，(0,1)內可導，且
證明：在(0,1)內至少存在一點, 使
例14、 設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f(a)f(b)>0,f(a) g(x)在[a,b]上連續，試證對.
例15、 設f(x)在[0，1]上連續，在（0，1）內一階可導，且.
試證：使得.
[證] 令，則f(0)=f(1)=0. 又
於是，使 ，即
設則，使得
，即 .
2) 常微分方程法:
適用:步驟：
例16、設在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且，證明存在使得
例17、設f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且 f(0)=0, f(1)=1,
證明：對任意實數, 使得
(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理
例18、設在上連續，在內可導，求證存在，使得
例19、設在上連續，在內可導，求證存在，使得
例20、設在上連續，在內可導，求證存在，使得
例21、設在上連續，在內可導，求證存在，使得
題型五、 含有(或更高階導數)的介值問題
方法：例22、 設f(x)在[0,1]上二階可導，且f(0)=f(1)=0, 試證至少存在乙個, 使
例23、（012，8分）設在上具有二階連續導數，f(0)=0
(1) 寫出f(x)的帶拉氏餘項的一階麥克勞林公式。
(2) 證明在上至少存在乙個使得
例24、 設f(x)在[－1, 1]上具有三階連續導數，且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0, 證明: 在(-1,1)內存在一點，使得
例25、設f(x)在[－a, a]上具有三階連續導數，且滿足，
f (0)=0, 證明: 在[-a, a]內存在一點，使得
[證] 由
知 ，
根據泰勒公式，有
其中介於0與x之間，.
於是其中m、m為（由題設可推知在[-a,a]上連續）在[-a, a]上的最大值、最小值. 進一步有
故存在， 使得，即
題型六、 雙介值問題
方法：例26、設在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，，求證存在使得
例27、（051，12分）已知函式在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且
證明：（1）存在，使得
（2）存在兩個不同的點使得
題型七、 綜合題
例28、（011，7分）
設函式在（-1,1）內具有二階連續導數，且，試證
（1） 對於(-1,1)內的任意,存在唯一的使得
成立（2）
例29、試證明若在[a,b]上存在二階導數，且，則存在使得
例30、設e
[證]為證唯一性，再證令
唯一性.
題型八、有關介值證明的幾類特殊處理問題
1）反證法
例30、設f(x)在[-2,2]上連續，在(-2,2)內二階連續可導,且. 求證存在, 使
[證] 反證若對不變號
1） , f(2)=f(0)+
與左端小於等於1矛盾.
2) f(-2)=f(0)-
, 同理矛盾
變號，從而結論成立.
2）隱含問題
例31、（2023年）設f(x)在[0,1]上連續，, g(x)在[0,1]上有連續的導數且在(0,1)內，並且證明：至少存在兩個不同的點, 使.
[證]又結論.
微分中值定理的證明題
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又，...
微分中值定理的證明題1
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又，...
微分中值定理的證明題 題目
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 2.設，證明 使得。3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證4.設函式在 0,1 上連續，在 0,1 上可導，證明 1 在 0,1 內存在，使得 2 在 0,1 內存在兩個不同的點，5.設在 0，2a 上連續，證明在 0,a 上存在使得.6....