一． 利用羅爾定理
1．在[0 ，1]上有二階導數，且，又，
求證：在（0 ，1）內至少存在一點，使
2．在[0 ，1]上連續，在（0 ，1）內可導 ，且，求證：在（0 ，1）內
至少存在一點，使
3．在[a ，b]上連續，在（a , b）內可導，且，為某個常數，
求證：在（a , b）內至少存在一點，使
4．在[a ，b]上連續，在（a , b）內可導，且，為某個常數，
求證：在（a , b）內至少存在一點，使
5．，在[a ，b]上連續，在（a , b）內可導，且
求證：在（a , b）內至少存在一點，使
6．，在[a ，b]上連續，在（a , b）內可導，且 ，
對於任一點 [a , b] ， ，求證：在（a , b）內至少存在一點，
使7．，在[a ，b]上連續，在（a , b）內可導，且
求證：在（a , b）內至少存在一點，使
8．在[a ，b]上連續，在（a , b）內可導，且，
求證：在（a , b）內至少存在一點，使
9．在[1 ，2]上連續，在（1 ，2）內可導，且，，
求證：在（1 , 2）內至少存在一點，使
二． 利用拉格朗日中值定理
1． 當，證明：
2． 時，證明：
3． 時，求證：
4． ，求證：
5． 在[a ，b]上連續，在（a , b）內可導，，且在[a , b]上
不為常數，求證：在（a , b）內至少存在一點，使
6． 在[a ，b]上連續，在（a , b）內二階可導， =0，（），求證：在（a , b）內至少存在一點，使
7． ，證明：，，
並求與三． 利用柯西中值定理
1．，求證：在（a ，b）內至少存在一點，使
2．，在[a ，b]上連續，在（a , b）內可導，求證：在（a ，b）內至少
存在一點，
四． 綜合題
1．在[0 ，1]上連續，在（0 ，1）內可導 ，且，，
求證：在（0 ，1）內至少存在一點，使
2．在[a ，b]上連續，在（a , b）內有二階導數，連線點（,）
與點（，）的直線段交曲線於點（，），，
求證：在（a ，b）內至少存在一點，使
3．在[0 ， c]上單調減少，且，證明：對於滿足中
的與，恒有
4．在[0 ，1]上連續，在（0 ，1）內可導 ，且，
求證：任給正數與，在（0，1）內必存在與，使
5．，在[a ，b]上連續，在（a , b）內可導，證明：在（a ，b）內分別
存在和，使
提示：一 . 1.在[0 1]上應用羅爾定理，得，在[0 ]上應用羅爾定理
2． 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9.
二. 4. 取對數令
5. 至少有一點c (a 朗日中值定理 , 若, 在[c b] 應用拉格朗日中值定理
6．在與分別應用拉朗日中值定理，得與
且與，在上應用拉格朗日中值定理
7.在上用拉格朗日中值定理得,
得由三. 1. 2 .
四. 1.在[ 1]上應用零點定理 , ,在[0 ]用羅爾定理
2.在[a c]和[c d]上應用拉格朗日中值定理 , 得
在應用羅爾定理
3.應用拉格朗日中值定理
4. 由於介值定理得
在[0 ] 和[ 1]上用拉格朗日中值定理得 ①
相加得證
5. 拉格朗日中值定理 ① 柯西定理 ②
②乘得 ③ 比較①③得證
微分中值定理的證明題
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又，...
微分中值定理的證明題1
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又，...
微分中值定理的證明題 題目
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 2.設，證明 使得。3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證4.設函式在 0,1 上連續，在 0,1 上可導，證明 1 在 0,1 內存在，使得 2 在 0,1 內存在兩個不同的點，5.設在 0，2a 上連續，證明在 0,a 上存在使得.6....