1. 若在上連續，在上可導，，證明：，使得：。
證：建構函式，則在上連續，在內可導，
且，由羅爾中值定理知：，使
即：，而，故。
2. 設，證明：，使得。
證：將上等式變形得：
作輔助函式，則在上連續，在內可導，
由拉格朗日定理得：
即即： 。
3. 設在內有二階導數，且，有證明：在內至少存在一點，使得：。
證：顯然在上連續，在內可導，又，故由羅爾定理知：，使得
又，故， 於是在上滿足羅爾定理條件，故存在， 使得：，而，即證
4. 設函式在[0,1]上連續，在(0,1)上可導，，.證明：
(1)在(0,1)內存在，使得．
(2) 在(0,1)內存在兩個不同的點，
【分析】 第一部分顯然用閉區間上連續函式的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應注意利用第一部分已得結論.
【證明】 （i） 令，則f(x)在[0，1]上連續，且f(0)=-1<0, f(1)=1>0,於是由介值定理知，存在存在使得，即.
（ii） 在和上對f(x)分別應用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同的點，使得，
於是5. 設在[0，2a]上連續，，證明在[0,a]上存在使得
.【分析】在[0,2a]上連續，條件中沒有涉及導數或微分，用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函式可如下得到
【證明】令，．在[0,a]上連續，且
當時，取，即有；
當時，，由根的存在性定理知存在使得，，即．
6. 若在上可導，且當時有，且，證明：在內有且僅有乙個點使得
證明：存在性
構造輔助函式
則在上連續，且有，，
由零點定理可知：在內至少存在一點，使得，即：
唯一性：（反證法）
假設有兩個點，且，使得
在上連續且可導，且
在上滿足rolle定理條件
必存在一點，使得：
即：，這與已知中矛盾
假設不成立，即：在內僅有乙個根，
綜上所述：在內有且僅有乙個點，使得
7. 設在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且==0，=1。試證至少存在乙個(0，1)，使=1。
分析：=1=1=x=0 令 ()=
證明： 令 f()=
()在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，
(1)=
()=由介值定理可知，乙個(，1)，使
0 又 (0)=0=0
對()在[0，1]上用rolle定理，乙個(0，)(0，1)使
0 即 =1
8. 設在上連續，在內可導，且試證存在和.滿足，使。
證由拉格朗日中值定理知，
9. 設在上連續,內可導
證明:使得
(1)證:(用乘於(1)式兩端,知)(1)式等價於
(2)為證此式,只要取取和在上分別應用cauchy中值定理,則知
其中.10. 已知函式在[0 ,1]上連續，在（0 ，1）內可導，，證明存在，使
解：利用柯西中值定理
而則（後面略）
11. 設在時連續，，當時，，則在內有唯一的實根
解：因為，則在上單調增加
（中值定理）
而故在內有唯一的實根
12. 試問如下推論過程是否正確。對函式在上應用拉格朗日中值定理得：
即：因，故當時，，由
得：，即
解：我們已經知道，不存在，故以上推理過程錯誤。
首先應注意：上面應用拉格朗日中值的是個中值點，是由和區間的
端點而定的，具體地說，與有關係，是依賴於的，當時，不
一定連續地趨於零，它可以跳躍地取某些值趨於零，從而使成
立，而中要求是連續地趨於零。故由推不出
13. 證明：成立。
證明：作輔助函式，則在上連續，在內可導，
由拉格朗日定理知： 即：，因在內單調遞減，故在內單調遞增，故即：
即：。注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發，選擇合適的函式及相應的區間，然後驗證條件，利用定理得
再根據在內符號或單調
證明不等式。
14. 證明：當時，。
證明：作輔助函式
則故在上單調遞減，又因，在上連續，
故 =0，即：，即：。
注：利用單調性證明不等式是常用方法之一，欲證當時，
常用輔助函式，則將問題轉化證，然後在上
討論的單調性，進而完成證明。
15. 證明：若二階可導，且，，則在
內單調遞增。
證明：因，要證單調遞增，只需證，
即證。設，則，因為
，，故是單調遞增函式，而，因此，即：，
即：，即當時單調遞增。
微分中值定理的證明題1
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又，...
微分中值定理的證明題 題目
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 2.設，證明 使得。3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證4.設函式在 0,1 上連續，在 0,1 上可導，證明 1 在 0,1 內存在，使得 2 在 0,1 內存在兩個不同的點，5.設在 0，2a 上連續，證明在 0,a 上存在使得.6....
與微分中值定理有關的證明題
一 利用羅爾定理 1 在 0 1 上有二階導數，且，又，求證 在 0 1 內至少存在一點，使 2 在 0 1 上連續，在 0 1 內可導 且，求證 在 0 1 內 至少存在一點，使 3 在 a b 上連續，在 a b 內可導，且，為某個常數，求證 在 a b 內至少存在一點，使 4 在 a b 上連...